La conjetura de Falconer.

En la teoría de la medida geométrica , la conjetura de Falconer , que lleva el nombre de Kenneth Falconer , es un problema no resuelto relativo a los conjuntos de distancias euclidianas entre puntos en espacios compactos -dimensionales. Intuitivamente afirma que un conjunto de puntos que es grande en su dimensión de Hausdorff debe determinar un conjunto de distancias que es grande en medida . Más precisamente, si se trata de un conjunto compacto de puntos en un espacio euclidiano de dimensiones cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que , entonces la conjetura establece que el conjunto de distancias entre pares de puntos en debe tener una medida de Lebesgue distinta de cero . ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle S}$

Formulación y motivación.

Falconer (1985) demostró que los conjuntos de Borel con dimensión de Hausdorff mayor que los conjuntos de distancia con medida distinta de cero. ^[2] Motivó este resultado como una generalización multidimensional del teorema de Steinhaus , un resultado previo de Hugo Steinhaus que demuestra que todo conjunto de números reales con medida distinta de cero debe tener un conjunto de diferencias que contenga un intervalo de la forma para algunos . ^[3] También puede verse como un análogo continuo del problema de las distintas distancias de Erdő , que establece que grandes conjuntos finitos de puntos deben tener un gran número de distancias distintas. ^[4] ${\displaystyle (d+1)/2}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Resultados parciales

Erdoğan (2005) demostró que conjuntos compactos de puntos cuya dimensión de Hausdorff es mayor que tienen conjuntos de distancias con medida distinta de cero; para valores grandes, esto se aproxima al umbral de la dimensión de Hausdorff dado por la conjetura de Falconer. ^[5] Para puntos en el plano euclidiano , los conjuntos de Borel de dimensión de Hausdorff mayor que 5/4 tienen conjuntos de distancias con medida distinta de cero y, más fuertemente, tienen un punto tal que la medida de Lebesgue de las distancias desde el conjunto a este punto es positivo. ^[6] ${\displaystyle {\tfrac {d}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle d}$

Una variante de la conjetura de Falconer establece que, para puntos en el plano, un conjunto compacto cuya dimensión de Hausdorff sea mayor o igual a uno debe tener un conjunto de distancias de dimensión de Hausdorff uno. Esto se desprende de los resultados de la medición para conjuntos de dimensiones de Hausdorff superiores a 5/4. Para un conjunto plano compacto con una dimensión de Hausdorff de al menos una, el conjunto de distancias debe tener una dimensión de Hausdorff de al menos 1/2. ^[7]

Conjeturas relacionadas

Probar un límite estrictamente mayor que 1/2 para la dimensión de la distancia establecida en el caso de conjuntos planos compactos con dimensión de Hausdorff al menos una sería equivalente a resolver varias otras conjeturas no resueltas. Estos incluyen una conjetura de Paul Erdős sobre la existencia de subanillos de Borel de los números reales con dimensión fraccionaria de Hausdorff, y una variante del problema de conjuntos de Kakeya sobre la dimensión de Hausdorff de conjuntos tales que, para cada dirección posible, hay un segmento de recta cuyo La intersección con el conjunto tiene alta dimensión Hausdorff. ^[8] Estas conjeturas fueron resueltas por Bourgain.

Otras funciones de distancia

Para funciones de distancia no euclidianas en el plano definido por normas poligonales, el análogo de la conjetura de Falconer es falso: existen conjuntos de dimensión dos de Hausdorff cuyos conjuntos de distancias tienen medida cero. ^{[9] [10]}

Referencias

1. Iosevich, Alex (2019), "¿Qué es... la conjetura de Falconer?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 66 (4): 552–555, doi :10.1090/noti1843, MR  3889529
2. Falconer, KJ (1985), "Sobre las dimensiones de Hausdorff de los conjuntos de distancias", Mathematika , 32 (2): 206–212 (1986), doi : 10.1112/S0025579300010998 , MR  0834490. Véanse en particular las observaciones que siguen al Corolario 2.3. Aunque este artículo es ampliamente citado como su origen, la conjetura de Falconer en sí no aparece en él.
3. Steinhaus, Hugo (1920), "Sur les Distances des Points dans les ensembles de mesure positiv" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en francés), 1 (1): 93–104, doi : 10.4064/fm-1-1 -93-104.
4. Arutyunyants, G.; Iosevich, A. (2004), "Conjetura de Falconer, promedios esféricos y análogos discretos", en Pach, János (ed.), Hacia una teoría de los grafos geométricos , Matemáticas contemporáneas, vol. 342, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 15-24, doi : 10.1090/conm/342/06127 , ISBN 978-0-8218-3484-8, señor  2065249
5. Erdoğan, M. Burak (2005), "Un teorema de extensión bilineal de Fourier y aplicaciones al problema del conjunto de distancias", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 2005 (23): 1411–1425, CiteSeerX 10.1.1.121.7673 , doi :10.1155/ IMRN.2005.1411 {{citation}}: Mantenimiento CS1: DOI gratuito sin marcar ( enlace ).
6. Guth, Larry ; Iosevich, Alex; Ou, Yumeng; Wang, Hong (2020), "Sobre el problema del establecimiento de distancias de Falconer en el plano", Inventiones Mathematicae , 219 (3): 779–830, arXiv : 1808.09346 , Bibcode :2020InMat.219..779G, doi :10.1007/s00222-019 -00917-x, SEÑOR  4055179
7. Mattila, Pertti (1987), "Promedios esféricos de transformadas de Fourier de medidas con energía finita; dimensión de intersecciones y conjuntos de distancias", Mathematika , 34 (2): 207–228, doi :10.1112/S0025579300013462, MR  0933500.
8. Katz, Halcón de las redes ; Tao, Terence (2001), "Algunas conexiones entre la conjetura del conjunto de distancias de Falconer y los conjuntos de tipo Furstenburg", New York Journal of Mathematics , 7 : 149–187, arXiv : math/0101195 , Bibcode : 2001math......1195H , señor  1856956.
9. Falconer, KJ (mayo de 2004), "Dimensiones de intersecciones y conjuntos de distancias para normas poliédricas", Real Analysis Exchange , 30 (2): 719–726, JSTOR  10.14321/realanalexch.30.2.0719, MR  2177429.
10. Konyagin, Sergei ; Łaba, Izabella (2006), "Conjuntos de distancias de conjuntos planos bien distribuidos para normas poligonales", Israel Journal of Mathematics , 152 : 157–179, arXiv : math/0405017 , doi : 10.1007/BF02771981 , MR  2214458.