Conjetura de Bass-Quillen

Relacionaría fibrados vectoriales sobre un anillo noetheriano regular y sobre un anillo polinomial

En matemáticas , la conjetura de Bass-Quillen relaciona fibrados vectoriales sobre un anillo noetheriano regular A y sobre el anillo polinómico . La conjetura recibe su nombre de Hyman Bass y Daniel Quillen , quienes la formularon. ^{[1] [2]} ${\displaystyle A[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

Enunciado de la conjetura

La conjetura es una afirmación sobre módulos proyectivos finitamente generados . Dichos módulos también se denominan fibrados vectoriales. Para un anillo A , el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales sobre A de rango r se denota por . ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{r}A}$

La conjetura afirma que para un anillo noetheriano regular A la asignación

${\displaystyle M\mapsto M\otimes _{A}A[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

produce una biyección

${\displaystyle \operatorname {Vect} _{r}A\,{\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Vect} _{r}(A[t_{1},\dots ,t_{n}]).}$

Casos conocidos

Si A  =  k es un cuerpo , la conjetura de Bass-Quillen afirma que cualquier módulo proyectivo sobre es libre . Esta cuestión fue planteada por Jean-Pierre Serre y fue demostrada posteriormente por Quillen y Suslin; véase el teorema de Quillen-Suslin . De manera más general, la conjetura fue demostrada por Lindel (1981) en el caso de que A sea un álgebra suave sobre un cuerpo k . Otros casos conocidos se revisan en Lam (2006). ${\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$

Extensiones

El conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales de rango r sobre A también se puede identificar con el grupo de cohomología no abeliana

${\displaystyle H_{Nis}^{1}(Spec(A),GL_{r}).}$

Resultados positivos sobre la invariancia de homotopía de

${\displaystyle H_{Nis}^{1}(U,G)}$

Los grupos reductores isotrópicos G han sido obtenidos por Asok, Hoyois y Wendt (2018) mediante la teoría de homotopía A 1 .

Referencias

1. Bass, H. (1973), Algunos problemas en la teoría K algebraica "clásica". Teoría K algebraica II , Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag, Sección 4.1
2. Quillen, D. (1976), "Módulos proyectivos sobre anillos polinómicos", Invent. Math. , 36 : 167–171, Bibcode :1976InMat..36..167Q, doi :10.1007/bf01390008, S2CID  119678534

• Asok, Aravind; Hoyois, Marc; Wendt, Matthias (2018), "Resultados de representabilidad afín en la teoría de homotopía A^1 II: fibrados principales y espacios homogéneos", Geom. Topol. , 22 (2): 1181–1225, arXiv : 1507.08020 , doi :10.2140/gt.2018.22.1181, S2CID  119137937, Zbl  1400.14061
• Lindel, H. (1981), "Sobre la conjetura de Bass-Quillen relativa a módulos proyectivos sobre anillos polinómicos", Invent. Math. , 65 (2): 319–323, Bibcode :1981InMat..65..319L, doi :10.1007/bf01389017, S2CID  120337628
• Lam, TY (2006), Problema de Serre sobre módulos proyectivos , Berlín: Springer, ISBN 3-540-23317-2, Zbl1101.13001 ​