Conglomerado (matemáticas)

En matemáticas, colección de clases.

En matemáticas , en el marco del fundamento de un universo para la teoría de categorías , ^{[1] [2]} el término conglomerado se aplica a conjuntos arbitrarios como contraposición a los conjuntos distinguidos que son elementos de un universo de Grothendieck . ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8]}

Definición

Las teorías de conjuntos axiomáticas más populares, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), admiten extensiones no conservadoras que surgen después de agregar un axioma suplementario. de existencia de un universo Grothendieck . Un ejemplo de tal extensión es la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , donde se postula una jerarquía infinita de universos de Grothendieck. ${\displaystyle U}$

El concepto de conglomerado fue creado para tratar con "colecciones" de clases , lo cual es deseable en la teoría de categorías para que cada clase pueda considerarse como un elemento de una "colección más general", un conglomerado. Técnicamente esto se organiza mediante cambios en la terminología: cuando se agrega un universo de Grothendieck a la teoría de conjuntos axiomática elegida ( ZFC / NBG / MK ) se considera conveniente ^{[9] [10]} ${\displaystyle U}$

• aplicar el término "conjunto" sólo a elementos de , ${\displaystyle U}$
• aplicar el término "clase" sólo a subconjuntos de , ${\displaystyle U}$
• aplicar el término "conglomerado" a todos los conjuntos (no necesariamente elementos o subconjuntos de ). ${\displaystyle U}$

Como resultado, en esta terminología, cada conjunto es una clase y cada clase es un conglomerado.

Corolarios

Formalmente, esta construcción describe un modelo de la teoría de conjuntos axiomática inicial ( ZFC / NBG / MK ) en la extensión de esta teoría ("ZFC/NBG/MK+ universo de Grothendieck ") con el universo. ^{[1] : 195  [2] : 23} ${\displaystyle U}$

Si la teoría axiomática de conjuntos inicial admite la idea de clase propia (es decir, un objeto que no puede ser elemento de ningún otro objeto, como la clase de todos los conjuntos en NBG y MK), entonces estos objetos (clases propias) se descartan. de la consideración de la nueva teoría ("universo NBG/MK+Grothendieck"). Sin embargo, (sin contar los posibles problemas causados ​​por el axioma suplementario de existencia de ) esto en cierto sentido no conduce a una pérdida de información sobre los objetos de la antigua teoría (NBG o MK) desde su representación como modelo en la nueva teoría. ("Universo NBG/MK+Grothendieck") significa que lo que se puede probar en NBG/MK sobre sus objetos habituales llamados clases (incluidas las clases propias) también se puede probar en el "universo NBG/MK+Grothendieck" sobre sus clases (es decir sobre subconjuntos de , incluidos subconjuntos que no son elementos de , que son análogos de las clases propias de NBG/MK). Al mismo tiempo, la nueva teoría no es equivalente a la inicial, ya que algunas proposiciones adicionales sobre clases pueden demostrarse en el "universo NBG/MK+Grothendieck", pero no en NBG/MK. ${\displaystyle Set}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Terminología

El cambio de terminología a veces se denomina "convención de conglomerado". ^{[7] : 6} El primer paso, realizado por Mac Lane, ^{[1] : 195  [2] : 23} es aplicar el término "clase" sólo a subconjuntos de Mac Lane no redefine los términos existentes de la teoría de conjuntos; más bien, trabaja en una teoría de conjuntos sin clases (ZFC, no NBG/MK), llama a miembros de "conjuntos pequeños" y afirma que los conjuntos pequeños y las clases satisfacen los axiomas de NBG. No necesita "conglomerados", ya que los conjuntos no tienen por qué ser pequeños. ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$

El término "conglomerado" acecha en las revisiones de las décadas de 1970 y 1980 en Mathematical Reviews ^[11] sin definición, explicación o referencia, y a veces en artículos. ^[12]

Mientras la convención de conglomerado esté vigente, debe utilizarse exclusivamente para evitar ambigüedades; es decir, los conglomerados no deberían denominarse “conjuntos” en la forma habitual de ZFC. ^{[7] : 6}

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (1969). "Un universo como base para la teoría de categorías". Informes del Seminario Categoría Medio Oeste III. Apuntes de conferencias de matemáticas, vol 106 . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 106. Springer, Berlín, Heidelberg . págs. 192-200. doi :10.1007/BFb0059147. ISBN 978-3-540-04625-7.
2. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático trabajador . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (Segunda ed.). Springer, Nueva York, Nueva York . ISBN 978-0-387-90036-0.
3. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst ; Strecker, George (1990). Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos (PDF) . Publicaciones de Dover. págs.13, 15, 16, 259. ISBN 978-0-486-46934-8.
4. Herrlich, Horst ; Strecker, George (2007). «Conjuntos, clases y conglomerados» (PDF) . Teoría de categorías (3ª ed.). Editorial Heldermann. págs. 9-12.
5. Osborne, M. Scott (6 de diciembre de 2012). Álgebra homológica básica. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 151-153. ISBN 9781461212782.
6. Preuß, Gerhard (6 de diciembre de 2012). Teoría de estructuras topológicas: una aproximación a la topología categórica. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 3.ISBN​ 9789400928596.
7. Murfet, Daniel (5 de octubre de 2006). "Fundamentos de la teoría de categorías" (PDF) .
8. Zhang, Jinwen (1991). "El sistema de axiomas ACG y la prueba de consistencia del sistema QM y ZF#". Avances en la informática china . vol. 3. págs. 153-171. doi :10.1142/9789812812407_0009. ISBN 978-981-02-0152-4.
9. Herrlich, Horst; Strecker, George (2007). «Apéndice. Cimentaciones» (PDF) . Teoría de categorías (3ª ed.). Editorial Heldermann. págs. 328–3300.
10. Nel, Luis (3 de junio de 2016). Teoría de la continuidad. Saltador. pag. 31.ISBN​ 9783319311593.
11. Reseñas 48#5965, 56#3798, 82f:18003, 83d:18010, 84c:54045, 87m:18001
12. Revisado: 89e:18002, 96g:18002