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Extensión conservadora

En lógica matemática , una extensión conservadora es una superteoría de una teoría que suele ser conveniente para demostrar teoremas , pero no demuestra nuevos teoremas sobre el lenguaje de la teoría original. De manera similar, una extensión no conservadora es una superteoría que no es conservadora y puede demostrar más teoremas que la original.

Expresado de manera más formal, una teoría es una extensión conservadora ( de prueba teórica ) de una teoría si cada teorema de es un teorema de , y cualquier teorema de en el lenguaje de ya es un teorema de .

De manera más general, si es un conjunto de fórmulas en el lenguaje común de y , entonces es -conservador sobre si cada fórmula de demostrable en también es demostrable en .

Nótese que una extensión conservadora de una teoría consistente es consistente. Si no lo fuera, entonces, por el principio de explosión , cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que cada fórmula en el lenguaje de sería un teorema de , por lo que no sería consistente. Por lo tanto, las extensiones conservadoras no conllevan el riesgo de introducir nuevas inconsistencias. Esto también puede verse como una metodología para escribir y estructurar grandes teorías: comenzar con una teoría, , que se sabe (o se supone) que es consistente, y construir sucesivamente extensiones conservadoras , , ... de ella.

Recientemente, se han utilizado extensiones conservadoras para definir una noción de módulo para ontologías [ cita requerida ] : si una ontología se formaliza como una teoría lógica, una subteoría es un módulo si toda la ontología es una extensión conservadora de la subteoría.

Una extensión que no es conservativa puede llamarse extensión propia .

Ejemplos

Extensión conservadora de la teoría de modelos

Con medios teóricos de modelos , se obtiene una noción más fuerte: una extensión de una teoría es conservadora en teoría de modelos si y cada modelo de puede expandirse a un modelo de . Cada extensión conservadora en teoría de modelos también es una extensión conservadora (en teoría de pruebas) en el sentido anterior. [3] La noción de teoría de modelos tiene la ventaja sobre la de teoría de pruebas de que no depende tanto del lenguaje en cuestión; por otro lado, suele ser más difícil establecer la conservatividad en teoría de modelos.

Véase también

Referencias

  1. ^ ab SG Simpson, RL Smith, "Factorización de polinomios y Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} -inducción" (1986). Anales de lógica pura y aplicada, vol. 31 (p.305)
  2. ^ Fernando Ferreira, Una demostración sencilla del teorema de Parsons. Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 46, n.º 1, 2005.
  3. ^ Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge: Cambridge University Press . Pág. 58. Ejercicio 8. ISBN. 978-0-521-58713-6.

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