En geometría de Riemann , una variedad colapsante o colapsada es una variedad n -dimensional M que admite una secuencia de métricas de Riemann g i , de modo que cuando i tiende a infinito la variedad está cerca de un espacio k -dimensional, donde k < n , en el sentido de la distancia de Gromov-Hausdorff . Generalmente hay algunas restricciones en las curvaturas seccionales de ( M , g i ). El ejemplo más simple es una variedad plana , cuya métrica puede ser reescalada por 1/ i , de modo que la variedad está cerca de un punto, pero su curvatura permanece 0 para todo i .
En términos generales, existen dos tipos de colapso:
(1) El primer tipo es un colapso que mantiene la curvatura uniformemente limitada, digamos .
Sea una secuencia de variedades riemannianas dimensionales, donde denota la curvatura seccional de la variedad i ésima. Hay un teorema demostrado por Jeff Cheeger , Kenji Fukaya y Mikhail Gromov , que establece que: Existe una constante tal que si y , entonces admite una N-estructura, con denotando el radio de inyectividad de la variedad M . En términos generales, la N -estructura es una acción local de una nilvariedad , que es una generalización de una F-estructura, introducida por Cheeger y Gromov. Este teorema generalizó teoremas previos de Cheeger-Gromov y Fukaya donde solo tratan con los casos de acción de toro y diámetro acotado respectivamente.
(2) El segundo tipo es el colapso manteniendo sólo el límite inferior de curvatura, digamos .
Esto está estrechamente relacionado con el llamado caso de variedad de curvatura casi no negativa, que generaliza variedades de curvatura no negativa así como variedades casi planas. Se dice que una variedad es de curvatura casi no negativa si admite una secuencia de métricas , tales que y . El papel que desempeña una variedad de curvatura casi no negativa en este caso de colapso cuando la curvatura está acotada por debajo es el mismo que el que desempeña una variedad casi plana en el caso acotado por la curvatura.
Cuando la curvatura está limitada solo desde abajo, el espacio límite se denomina espacio de Alexandrov . Yamaguchi demostró que en la parte regular del espacio límite, existe una forma de fibración localmente trivial para cuando es suficientemente grande, la fibra es una variedad de curvatura casi no negativa. [ cita requerida ] Aquí, regular significa que el radio del filtro está limitado uniformemente desde abajo por un número positivo o, en términos generales, el espacio está cerrado localmente al espacio euclidiano.
¿Qué sucede en un punto singular de ? No hay respuesta a esta pregunta en general. Pero en dimensión 3, Shioya y Yamaguchi dan una clasificación completa de este tipo de variedad colapsada. Demostraron que existe una y tal que si una variedad tridimensional satisface entonces una de las siguientes es verdadera: (i) M es una variedad gráfica o (ii) tiene diámetro menor que y tiene grupo fundamental finito.
