Colisión elástica

Colisión en la que se conserva la energía cinética.

Mientras la radiación del cuerpo negro (no mostrada) no escape de un sistema, los átomos en agitación térmica sufren colisiones esencialmente elásticas. En promedio, dos átomos rebotan entre sí con la misma energía cinética que antes de la colisión. Cinco átomos están coloreados de rojo para que sus trayectorias de movimiento sean más fáciles de ver.

En física , una colisión elástica es un encuentro ( colisión ) entre dos cuerpos en el que la energía cinética total de los dos cuerpos sigue siendo la misma. En una colisión ideal y perfectamente elástica, no hay conversión neta de energía cinética en otras formas como calor , ruido o energía potencial .

Durante la colisión de objetos pequeños, la energía cinética se convierte primero en energía potencial asociada con una fuerza de atracción o repulsión entre las partículas (cuando las partículas se mueven contra esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es obtuso), luego esta la energía potencial se convierte nuevamente en energía cinética (cuando las partículas se mueven con esta fuerza, es decir, el ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad relativa es agudo).

Las colisiones de átomos son elásticas, por ejemplo la retrodispersión de Rutherford .

Un caso especial útil de colisión elástica es cuando los dos cuerpos tienen igual masa, en cuyo caso simplemente intercambiarán sus momentos .

Las moléculas (a diferencia de los átomos ) de un gas o un líquido rara vez experimentan colisiones perfectamente elásticas porque en cada colisión se intercambia energía cinética entre el movimiento de traslación de las moléculas y sus grados de libertad internos. En cualquier instante, la mitad de las colisiones son, en mayor o menor medida, colisiones inelásticas (el par posee menos energía cinética en sus movimientos de traslación después de la colisión que antes), y la mitad podría describirse como "superelástica" (que posee más energía cinética ). después de la colisión que antes). Promediadas en toda la muestra, las colisiones moleculares pueden considerarse esencialmente elásticas siempre que la ley de Planck prohíba que los fotones del cuerpo negro se lleven energía.

En el caso de los cuerpos macroscópicos, las colisiones perfectamente elásticas son un ideal que nunca se realiza del todo, pero que se aproxima mediante las interacciones de objetos como las bolas de billar .

Al considerar las energías, también puede influir la posible energía de rotación antes y/o después de una colisión.

Ecuaciones

Newtoniano unidimensional

El profesor Walter Lewin explica las colisiones elásticas unidimensionales

En cualquier colisión, el impulso se conserva; pero en una colisión elástica la energía cinética también se conserva. ^[1] Considere las partículas 1 y 2 con masas m ₁ , m ₂ y velocidades u ₁ , u ₂ antes de la colisión, v ₁ , v ₂ después de la colisión. La conservación del impulso antes y después de la colisión se expresa por: ^[1]

$${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\ =\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}$$

Asimismo, la conservación de la energía cinética total se expresa mediante: ^[1]

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}.}$$

Estas ecuaciones se pueden resolver directamente para encontrar cuándo se conocen: ^[2] ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{1}&=&{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\[.5em]v_{2}&=&{\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}.\end{array}}}$$

Alternativamente, la velocidad final de una partícula, v (v ₁ o v ₂ ), se expresa mediante:

${\displaystyle v=(1+e)v_{CoM}-eu,v_{CoM}={\dfrac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Dónde:

• e es el coeficiente de restitución .
• v _CoM es la velocidad del centro de masa del sistema de dos partículas.
• u (u ₁ o u ₂ ) es la velocidad inicial de la partícula.

Si ambas masas son iguales, tenemos una solución trivial:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}.\end{aligned}}}$$

^[2]

Como se puede esperar, la solución es invariante al agregar una constante a todas las velocidades ( relatividad galileana ), lo que es como usar un marco de referencia con velocidad de traslación constante. De hecho, para derivar las ecuaciones, primero se puede cambiar el marco de referencia para que una de las velocidades conocidas sea cero, determinar las velocidades desconocidas en el nuevo marco de referencia y volver a convertir al marco de referencia original.

Ejemplos

Antes de la colisión

Bola 1: masa = 3 kg, velocidad = 4 m/s

Bola 2: masa = 5 kg, velocidad = −6 m/s

Después de la colisión

Bola 1: velocidad = −8,5 m/s

Bola 2: velocidad = 1,5 m/s

Otra situación:

Colisión elástica de masas desiguales.

A continuación se ilustra el caso de masa igual, . ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

Colisión elástica de masas iguales.

Colisión elástica de masas en un sistema con un sistema de referencia en movimiento

En el caso límite donde es mucho más grande que , como una paleta de ping-pong que golpea una pelota de ping-pong o un SUV que golpea un bote de basura, la masa más pesada apenas cambia de velocidad, mientras que la masa más ligera rebota, invirtiendo su velocidad más aproximadamente el doble que el pesado. ^[3] ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

En el caso de una partícula grande , el valor de es pequeño si las masas son aproximadamente las mismas: golpear una partícula mucho más ligera no cambia mucho la velocidad, golpear una partícula mucho más pesada hace que la partícula rápida rebote con gran velocidad. Por eso un moderador de neutrones (un medio que frena los neutrones rápidos , convirtiéndolos así en neutrones térmicos capaces de sostener una reacción en cadena ) es un material lleno de átomos con núcleos ligeros que no absorben fácilmente los neutrones: los núcleos más ligeros tienen alrededor de misma masa que un neutrón . ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

Derivación de solución

Para derivar las ecuaciones anteriores para reorganizar las ecuaciones de energía cinética y momento: ${\displaystyle v_{1},v_{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})&=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})\\m_{1}(v_{1}-u_{1})&=m_{2}(u_{2}-v_{2})\end{aligned}}}$$

Dividiendo cada lado de la ecuación superior por cada lado de la ecuación inferior y usando se obtiene: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}.}$$

Es decir, la velocidad relativa de una partícula con respecto a la otra se invierte por la colisión.

Ahora las fórmulas anteriores se derivan de resolver un sistema de ecuaciones lineales considerando como constantes: ${\displaystyle v_{1},v_{2},}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}$$

${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Centro de masa del marco

Con respecto al centro de masa, ambas velocidades se invierten por la colisión: una partícula pesada se mueve lentamente hacia el centro de masa y rebota con la misma baja velocidad, y una partícula ligera se mueve rápidamente hacia el centro de masa y rebota. atrás con la misma alta velocidad.

La velocidad del centro de masa no cambia por la colisión. Para ver esto, considere el centro de masa en el momento antes de la colisión y el tiempo después de la colisión: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, las velocidades del centro de masa antes y después de la colisión son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}$$

Los numeradores de y son los momentos totales antes y después de la colisión. Como se conserva el impulso, tenemos ${\displaystyle v_{\bar {x}}}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

Relativista unidimensional

Según la relatividad especial ,

$${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

pvc

En el centro del cuadro de impulso , donde el impulso total es igual a cero,

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

Aquí se representan las masas en reposo de los dos cuerpos en colisión, representan sus velocidades antes de la colisión, sus velocidades después de la colisión, sus momentos, es la velocidad de la luz en el vacío y denota la energía total, la suma de las masas en reposo y las energías cinéticas de los dos. cuerpos. ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

Dado que la energía y el momento totales del sistema se conservan y sus masas en reposo no cambian, se demuestra que el momento del cuerpo en colisión lo deciden las masas en reposo de los cuerpos en colisión, la energía total y el momento total. En relación con el centro del marco de impulso , el impulso de cada cuerpo que choca no cambia de magnitud después de la colisión, sino que invierte su dirección de movimiento.

En comparación con la mecánica clásica , que proporciona resultados precisos al tratar con objetos macroscópicos que se mueven mucho más lento que la velocidad de la luz , el impulso total de los dos cuerpos en colisión depende del marco. En el centro del marco de momento , según la mecánica clásica,

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Esto concuerda con el cálculo relativista a pesar de otras diferencias. ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

Uno de los postulados de la Relatividad Especial establece que las leyes de la física, como la conservación del momento, deben ser invariantes en todos los sistemas de referencia inerciales. En un sistema inercial general donde el impulso total podría ser arbitrario,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle p_{T},}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$

$${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$

${\displaystyle u_{1}'}$ ${\displaystyle u_{2}'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Cuándo y ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ ${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

Por tanto, el cálculo clásico es válido cuando la velocidad de ambos cuerpos en colisión es mucho menor que la velocidad de la luz (~300.000 kilómetros por segundo).

Derivación relativista usando funciones hiperbólicas

Usando el llamado parámetro de velocidad (generalmente llamado rapidez ), ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

La energía y el impulso relativistas se expresan de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones suma de energía y momento de masas que chocan y (las velocidades corresponden a los parámetros de velocidad ), después de dividir por la potencia adecuada son las siguientes: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

y ecuación dependiente, la suma de las ecuaciones anteriores:

$${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

restamos los cuadrados de las ecuaciones de ambos lados "momento" de "energía" y usamos la identidad después de simplificar obtenemos: ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$

$${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

para masa distinta de cero, usando la identidad trigonométrica hiperbólica obtenemos: ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$

$${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

como funciones son pares obtenemos dos soluciones: ${\displaystyle \cosh(s)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ ${\displaystyle e^{s_{2}},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

Es una solución al problema, pero expresada por los parámetros de velocidad. La sustitución de retorno para obtener la solución de velocidades es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

Sustituimos las soluciones anteriores y reemplazamos: y después de una larga transformación, sustituyendo: obtenemos: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Bidimensional

Para el caso de dos cuerpos que no giran y chocan en dos dimensiones, el movimiento de los cuerpos está determinado por las tres leyes de conservación del momento, la energía cinética y el momento angular. La velocidad total de cada cuerpo debe dividirse en dos velocidades perpendiculares: una tangente a las superficies normales comunes de los cuerpos en colisión en el punto de contacto y la otra a lo largo de la línea de colisión. Dado que la colisión sólo imparte fuerza a lo largo de la línea de colisión, las velocidades que son tangentes al punto de colisión no cambian. Las velocidades a lo largo de la línea de colisión se pueden utilizar en las mismas ecuaciones que una colisión unidimensional. Las velocidades finales se pueden calcular a partir de las dos nuevas velocidades componentes y dependerán del punto de colisión. Se realizan estudios de colisiones bidimensionales para muchos cuerpos en el marco de un gas bidimensional .

Colisión elástica bidimensional

En un sistema de centro de momento, en cualquier momento las velocidades de los dos cuerpos están en direcciones opuestas, con magnitudes inversamente proporcionales a las masas. En una colisión elástica estas magnitudes no cambian. Las direcciones pueden cambiar según las formas de los cuerpos y el punto de impacto. Por ejemplo, en el caso de esferas el ángulo depende de la distancia entre las trayectorias (paralelas) de los centros de los dos cuerpos. Cualquier cambio de dirección distinto de cero es posible: si esta distancia es cero, las velocidades se invierten en la colisión; si está cerca de la suma de los radios de las esferas, los dos cuerpos se desvían sólo ligeramente.

Suponiendo que la segunda partícula está en reposo antes de la colisión, los ángulos de deflexión de las dos partículas, y , están relacionados con el ángulo de deflexión en el sistema del centro de masa por ^[4] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Colisión bidimensional con dos objetos en movimiento.

Los componentes finales de las velocidades x e y de la primera bola se pueden calcular como: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$

v ₁v ₂m ₁m ₂θ ₁θ ₂φvelocidadesde ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

Esta ecuación se deriva del hecho de que la interacción entre los dos cuerpos se calcula fácilmente a lo largo del ángulo de contacto, lo que significa que las velocidades de los objetos se pueden calcular en una dimensión girando los ejes xey para que sean paralelos al ángulo de contacto del objetos y luego se gira de nuevo a la orientación original para obtener las verdaderas componentes x e y de las velocidades. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

En una representación sin ángulos, las velocidades cambiadas se calculan utilizando los centros x ₁ y x ₂ en el momento del contacto como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

producto internoproducto escalar

Otras cantidades conservadas

En el caso particular de partículas que tienen masas iguales, se puede verificar mediante cálculo directo a partir del resultado anterior que el producto escalar de las velocidades antes y después de la colisión son los mismos, es decir, aunque este producto no es una invariante aditiva en el mismo Como lo son el momento y la energía cinética para las colisiones elásticas, parece que la preservación de esta cantidad puede usarse para derivar leyes de conservación de orden superior. ^[12] ${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

Ver también

• Colisión
• Colisión inelástica
• Coeficiente de restitución

Referencias

1. Serway y Jewett 2014, pág. 257
2. Serway y Jewett 2014, pág. 258
3. Serway y Jewett 2014, págs. 258-259
4. Landau y Lifshitz 1976, pág. 46
5. Craver, William E. (13 de agosto de 2013). «Colisiones elásticas» . Consultado el 4 de marzo de 2023 .^{[ fuente autoeditada ]}
6. Parkinson, Stephen (1869) "Un tratado elemental de mecánica" (4ª ed.) p. 197. Londres. macmillan
7. Con amor, AEH (1897) "Principios de la dinámica" p. 262. Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge
8. Routh, Edward J. (1898) "Tratado sobre la dinámica de una partícula" p. 39. Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge
9. Glazebrook, Richard T. (1911) "Dinámica" (2ª ed.) pág. 217. Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge
10. Osgood, William F. (1949) "Mecánica" p. 272. Londres. macmillan
11. Stephenson, Reginald J. (1952) "Mecánica y propiedades de la materia" p. 40. Nueva York. wiley
12. Chliamovitch, G.; Malaspinas, O.; Chopard, B. (2017). "Teoría cinética más allá del Stosszahlansatz". Entropía . 19 (8): 381. Bibcode : 2017Entrp..19..381C. doi : 10.3390/e19080381 .

Referencias generales

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). Mecánica (3ª ed.). Prensa de Pérgamo. ISBN 0-08-021022-8.
• Raymond, David J. "10.4.1 Colisiones elásticas". Un enfoque radicalmente moderno para la introducción a la física . vol. 1: Principios Fundamentales. Socorro, Nuevo México: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2014). "9: Momento lineal y colisiones". Física para científicos e ingenieros con física moderna (9ª ed.). Bostón. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

enlaces externos

• Resolución de colisiones de cuerpos rígidos en tres dimensiones, incluida una derivación utilizando las leyes de conservación