Grupo de permutación de rango 3

En la teoría matemática de grupos finitos , un grupo de permutación de rango 3 actúa transitivamente sobre un conjunto tal que el estabilizador de un punto tiene 3 órbitas . El estudio de estos grupos fue iniciado por Higman  (1964, 1971). Varios de los grupos simples esporádicos fueron descubiertos como grupos de permutación de rango 3.

Clasificación

Los grupos de permutación primitivos de rango 3 se encuentran todos en una de las siguientes clases:

• Cameron (1981) los clasificó de manera que donde el zócalo T de T ₀ es simple y T ₀ es un grupo bitransitivo de grado √ n . ${\displaystyle T\times T\leq G\leq T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$
• Liebeck (1987) clasificó los que tenían un subgrupo normal abeliano elemental regular
• Bannai (1971-72) clasificó aquellos cuyo zócalo es un grupo alterno simple
• Kantor y Liebler (1982) clasificaron aquellos cuyo zócalo es un grupo clásico simple
• Liebeck y Saxl (1986) clasificaron aquellos cuyo zócalo es un grupo simple excepcional o esporádico.

Ejemplos

Si G es cualquier grupo 4-transitivo que actúa sobre un conjunto S , entonces su acción sobre pares de elementos de S es un grupo de permutación de rango 3. ^[1] En particular, la mayoría de los grupos alternos, grupos simétricos y grupos de Mathieu tienen acciones transitivas de 4 y, por lo tanto, pueden convertirse en grupos de permutación de rango 3.

El grupo lineal general proyectivo que actúa sobre líneas en un espacio proyectivo de dimensión al menos 3 es un grupo de permutación de rango 3.

Varios grupos de 3 transposiciones son grupos de permutación de rango 3 (en la acción sobre transposiciones).

Es común que el estabilizador puntual de un grupo de permutación de rango 3 que actúa sobre una de las órbitas sea un grupo de permutación de rango 3. Esto da varias "cadenas" de grupos de permutación de rango 3, como la cadena Suzuki y la cadena que termina con los grupos de Fischer .

A continuación se enumeran algunos grupos de permutaciones de rango 3 inusuales (muchos de (Liebeck y Saxl 1986)).

Para cada fila de la siguiente tabla, en la cuadrícula de la columna marcada como "tamaño", el número a la izquierda del signo igual es el grado del grupo de permutación mencionado en la fila. En la cuadrícula, la suma a la derecha del signo igual muestra las longitudes de las tres órbitas del estabilizador de un punto del grupo de permutación. Por ejemplo, la expresión 15 = 1+6+8 en la primera fila de la tabla bajo el título significa que el grupo de permutación para la primera fila tiene grado 15, y las longitudes de tres órbitas del estabilizador de un punto de la permutación grupo son 1, 6 y 8 respectivamente.

Notas

1. Las tres órbitas son: el propio par fijo; aquellos pares que tienen un elemento en común con el par fijo; y aquellos pares que no tienen ningún elemento en común con el par fijo.

Referencias

• Bannai, Eiichi (1971–72), "Subgrupos máximos de rango bajo de grupos alternos y simétricos finitos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 18 : 475–486, ISSN  0040-8980, SEÑOR  0357559
• Brouwer, AE; Cohen, AM; Neumaier, Arnold (1989), Gráficos regulares a distancia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], vol. 18, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5, SEÑOR  1002568
• Cameron, Peter J. (1981), "Grupos de permutación finitos y grupos simples finitos", The Bulletin of the London Mathematical Society , 13 (1): 1–22, CiteSeerX  10.1.1.122.1628 , doi :10.1112/blms/13.1 .1, ISSN  0024-6093, SEÑOR  0599634
• Higman, Donald G. (1964), "Grupos de permutación finitos de rango 3" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 86 (2): 145–156, doi :10.1007/BF01111335, hdl : 2027.42/46298 , ISSN  0025-5874, SEÑOR  0186724, S2CID  51836896
• Higman, Donald G. (1971), "Un estudio de algunas preguntas y resultados sobre grupos de permutación de rango 3", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, Gauthier-Villars, págs. 361–365, SEÑOR  0427435
• Kantor, William M .; Liebler, Robert A. (1982), "Las representaciones de permutación de rango 3 de los grupos clásicos finitos" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 271 (1): 1–71, doi :10.2307/1998750, ISSN  0002- 9947, JSTOR  1998750, SEÑOR  0648077
• Liebeck, Martin W. (1987), "Los grupos de permutación afín de rango tres", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 54 (3): 477–516, CiteSeerX  10.1.1.135.7735 , doi :10.1112/plms /s3-54.3.477, ISSN  0024-6115, SEÑOR  0879395
• Liebeck, Martín W .; Saxl, Jan (1986), "Los grupos de permutación primitivos finitos de rango tres", The Bulletin of the London Mathematical Society , 18 (2): 165–172, doi :10.1112/blms/18.2.165, ISSN  0024-6093, Señor  0818821