Clase Hermite

La clase Hermite o Pólya es un conjunto de funciones completas que satisfacen el requisito de que si E(z) está en la clase, entonces: ^{[1] [2]}

1. E(z) no tiene cero ( raíz ) en el semiplano superior .
2. ${\displaystyle |E(x+iy)|\geq |E(x-iy)|}$para x e y reales e y positivo .
3. ${\displaystyle |E(x+iy)|}$es una función no decreciente de y para y positivo .

La primera condición (ninguna raíz en el semiplano superior) se puede derivar de la tercera más una condición de que la función no sea idénticamente cero. La segunda condición no está implícita en la tercera, como lo demuestra la función En al menos una publicación de Louis de Branges , la segunda condición se reemplaza por una desigualdad estricta, que modifica algunas de las propiedades que se dan a continuación. ^[3] ${\displaystyle \exp(-iz+e^{iz}).}$

Toda función completa de la clase Hermite puede expresarse como el límite de una serie de polinomios que no tienen ceros en el semiplano superior. ^[4]

El producto de dos funciones de clase Hermite también es de clase Hermite, por lo que la clase constituye un monoide bajo la operación de multiplicación de funciones.

La clase surge de las investigaciones de Georg Pólya en 1913 ^[5] pero algunos prefieren llamarla la clase de Hermite en honor a Charles Hermite . ^[6] Un espacio de De Branges se puede definir sobre la base de alguna "función de peso" de la clase de Hermite, pero con la estipulación adicional de que la desigualdad sea estricta, es decir, para y positiva . (Sin embargo, un espacio de De Branges se puede definir usando una función que no esté en la clase, como exp( z ² − iz ) .) ${\displaystyle |E(x+iy)|>|E(x-iy)|}$

La clase Hermite es un subconjunto de la clase Hermite–Biehler , que no incluye el tercero de los tres requisitos anteriores. ^[2]

Una función sin raíces en el semiplano superior es de clase Hermite si y solo si se cumplen dos condiciones: que las raíces distintas de cero z _n satisfacen

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {1-\operatorname {Im} z_{n}}{|z_{n}|^{2}}}<\infty }$

(con raíces contadas según su multiplicidad ), y que la función puede expresarse en forma de un producto de Hadamard

${\displaystyle z^{m}e^{a+bz+cz^{2}}\prod _{n}\left(1-z/z_{n}\right)\exp(z\operatorname {Re} {\frac {1}{z_{n}}})}$

con c real y no positivo e Im b no positivo. (El entero no negativo m será positivo si E (0)=0. Incluso si el número de raíces es infinito, el producto infinito está bien definido y converge. ^[7] ) De esto podemos ver que si una función f ( z ) de clase Hermite tiene una raíz en w , entonces también será de clase Hermite. ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$

Supongamos que f ( z ) es un polinomio no constante de clase Hermite. Si su derivada es cero en algún punto w en el semiplano superior, entonces

${\displaystyle |f(z)|\sim |f(w)+a(z-w)^{n}|}$

cerca de w para algún número complejo a y algún entero n mayor que 1. Pero esto implicaría que decrece con y en algún lugar en cualquier entorno de w , lo que no puede ser el caso. Por lo tanto, la derivada es un polinomio sin raíz en el semiplano superior, es decir, de clase Hermite. Dado que una función no constante de clase Hermite es el límite de una secuencia de tales polinomios, su derivada también será de clase Hermite. ^[8] ${\displaystyle |f(x+iy)|}$

Louis de Branges demostró una conexión entre funciones de clase Hermite y funciones analíticas cuya parte imaginaria es no negativa en el semiplano superior (UHP), a menudo llamadas funciones de Nevanlinna . Si una función E ( z ) es de clase Hermite-Biehler y E (0) = 1, podemos tomar el logaritmo de E de tal manera que sea analítica en el UHP y tal que log( E (0)) = 0. Entonces E ( z ) es de clase Hermite si y solo si

${\displaystyle {\text{Im}}{\frac {-\log(E(z))}{z}}\geq 0}$

(en la UHP). ^[9]

Clase Laguerre–Pólya

Una clase más pequeña de funciones completas es la clase Laguerre–Pólya , que consiste en aquellas funciones que son localmente el límite de una serie de polinomios cuyas raíces son todas reales. Cualquier función de la clase Laguerre–Pólya es también de la clase Hermite. Algunos ejemplos son ${\displaystyle \sin(z),\cos(z),\exp(z),{\text{ and }}\exp(-z^{2}).}$

Ejemplos

A partir de la forma Hadamard es fácil crear ejemplos de funciones de la clase Hermite. Algunos ejemplos son:

• Una constante distinta de cero.
• ${\displaystyle z}$
• Polinomios que no tienen raíces en el semiplano superior, como ${\displaystyle z+i}$
• ${\displaystyle \exp(-piz)}$si y solo si Re( p ) es no negativo
• ${\displaystyle \exp(-pz^{2})}$si y solo si p es un número real no negativo
• cualquier función de la clase Laguerre-Pólya: ${\displaystyle \sin(z),\cos(z),\exp(z),\exp(-z),\exp(-z^{2}).}$
• Un producto de funciones de la clase Hermite

Referencias

1. Louis de Branges (1968). Espacios de Hilbert de funciones enteras . Londres: Prentice-Hall. ISBN. 978-0133889000.
2. "Teoría de clases de Polya para funciones de Hermite-Biehler de orden finito" por Michael Kaltenbäck y Harald Woracek, J. London Math. Soc. (2) 68.2 (2003), págs. 338–354. doi :10.1112/S0024610703004502.
3. Louis de Branges (julio de 1992). "La convergencia de los productos de Euler". Journal of Functional Analysis . 107 : 122–210. doi :10.1016/0022-1236(92)90103-P.
4. Louis de Branges . "Una prueba de la hipótesis de Riemann" (PDF) . p. 6. Archivado desde el original (PDF) el 9 de noviembre de 2006.
5. G. Polya: "Über Annäherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln", Rend. Circo. Estera. Palermo 36 (1913), 279-295.
6. De Branges utilizó el término clase Pólya hasta al menos 2006, pero luego prefirió el término clase Hermite. Véase su borrador de 2017, La hipótesis de Riemann.
7. Sección 7 del libro de de Branges.
8. Este es el problema 17 del libro de De Branges. Las soluciones a algunos de los problemas del libro se pueden encontrar en la Solución a "Espacios de Hilbert de Funciones Enteras" de Kevin Linghu.
9. Sección 14 del libro de de Branges, o Louis de Branges (1963). "Algunas aplicaciones de espacios de funciones enteras". Revista Canadiense de Matemáticas . 15 : 563–83. doi :10.4153/CJM-1963-058-1. S2CID  247198147.