Circulación (física)

Integral lineal de la velocidad del fluido alrededor de una curva cerrada

Líneas de campo de un campo vectorial v , alrededor del límite de una superficie curva abierta con un elemento de línea infinitesimal d l a lo largo del límite, y a través de su interior con dS el elemento de superficie infinitesimal y n la normal unitaria a la superficie. Arriba: La circulación es la integral de línea de v alrededor de un bucle cerrado C . Proyecta v a lo largo de d l , luego suma. Aquí v se divide en componentes perpendiculares (⊥) paralelas ( ‖ ) a d l , las componentes paralelas son tangenciales al bucle cerrado y contribuyen a la circulación, las componentes perpendiculares no. Abajo: La circulación es también el flujo de vorticidad ω = ∇ × v a través de la superficie, y el rizo de v se representa heurísticamente como una flecha helicoidal (no una representación literal). Nótese que la proyección de v a lo largo de d l y el rizo de v pueden ser en sentido negativo, reduciendo la circulación.

En física, la circulación es la integral lineal de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada. En dinámica de fluidos , el campo es el campo de velocidad del fluido . En electrodinámica , puede ser el campo eléctrico o el campo magnético.

La circulación fue utilizada por primera vez de forma independiente por Frederick Lanchester , Martin Kutta y Nikolay Zhukovsky . ^{[ cita requerida ]} Generalmente se denota Γ ( gamma mayúscula griega ).

Definición y propiedades

Si V es un campo vectorial y d l es un vector que representa la longitud diferencial de un elemento pequeño de una curva definida, la contribución de esa longitud diferencial a la circulación es dΓ : $${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .}$$

Aquí, θ es el ángulo entre los vectores V y d l .

La circulación Γ de un campo vectorial V alrededor de una curva cerrada C es la integral de línea : ^{[1] [2]} $${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

En un campo vectorial conservativo, esta integral se evalúa como cero para cada curva cerrada. Esto significa que una integral de línea entre dos puntos cualesquiera en el campo es independiente del camino tomado. También implica que el campo vectorial se puede expresar como el gradiente de una función escalar, que se denomina potencial . ^[2]

Relación con la vorticidad y el rizo

La circulación puede estar relacionada con el rotacional de un campo vectorial V y, más específicamente, con la vorticidad si el campo es un campo de velocidad de fluido. $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}$$

Por el teorema de Stokes , el flujo de vectores de vorticidad o rotacional a través de una superficie S es igual a la circulación alrededor de su perímetro, ^[2] $${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$$

Aquí, la trayectoria de integración cerrada ∂S es el límite o perímetro de una superficie abierta S , cuya normal infinitesimal d S = n dS está orientada según la regla de la mano derecha . Por lo tanto, el rotacional y la vorticidad son la circulación por unidad de área, tomada alrededor de un bucle infinitesimal local.

En el flujo potencial de un fluido con una región de vorticidad , todas las curvas cerradas que encierran la vorticidad tienen el mismo valor para la circulación. ^[3]

Usos

Teorema de Kutta-Joukowski en dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos, la sustentación por unidad de longitud (L') que actúa sobre un cuerpo en un campo de flujo bidimensional es directamente proporcional a la circulación, es decir, se puede expresar como el producto de la circulación Γ alrededor del cuerpo, la densidad del fluido y la velocidad del cuerpo en relación con la corriente libre : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$ $${\displaystyle L'=\rho v_{\infty }\Gamma }$$

Esto se conoce como el teorema de Kutta-Joukowski. ^[4]

Esta ecuación se aplica en torno a perfiles aerodinámicos, donde la circulación se genera por la acción de los mismos , y en torno a objetos giratorios que experimentan el efecto Magnus , donde la circulación se induce mecánicamente. En la acción de los perfiles aerodinámicos, la magnitud de la circulación está determinada por la condición de Kutta . ^[4]

La circulación en cada curva cerrada alrededor del perfil aerodinámico tiene el mismo valor y está relacionada con la sustentación generada por cada unidad de longitud de envergadura. Siempre que la curva cerrada encierre el perfil aerodinámico, la elección de la curva es arbitraria. ^[3]

La circulación se utiliza a menudo en la dinámica de fluidos computacional como una variable intermedia para calcular fuerzas sobre un perfil aerodinámico u otro cuerpo.

Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo

En electrodinámica, la ley de inducción de Maxwell-Faraday se puede enunciar en dos formas equivalentes: ^[5] que el rizo del campo eléctrico es igual a la tasa negativa de cambio del campo magnético, $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

o que la circulación del campo eléctrico alrededor de un bucle es igual a la tasa negativa de cambio del flujo del campo magnético a través de cualquier superficie abarcada por el bucle, por el teorema de Stokes $${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

La circulación de un campo magnético estático es, por la ley de Ampère , proporcional a la corriente total encerrada por el bucle. $${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.}$$

Para los sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell.

Véase también

• Ecuaciones de Maxwell
• Ley de Biot-Savart en aerodinámica
• Teorema de circulación de Kelvin

Referencias

1. Robert W. Fox; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard (2003). Introducción a la mecánica de fluidos (6.ª edición). Wiley . ISBN 978-0-471-20231-8.
2. "Las conferencias Feynman sobre física, vol. II, cap. 3: cálculo integral vectorial". feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .
3. Anderson, John D. (1984), Fundamentos de la aerodinámica , sección 3.16. McGraw-Hill. ISBN 0-07-001656-9 
4. AM Kuethe; JD Schetzer (1959). Fundamentos de la aerodinámica (2 ed.). John Wiley e hijos . §4.11. ISBN 978-0-471-50952-3.
5. "Las conferencias Feynman sobre física, vol. II, cap. 17: Las leyes de la inducción". feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .