En matemáticas , la fórmula de Chowla-Selberg es la evaluación de un determinado producto de los valores de la función gamma en valores racionales en términos de valores de la función eta de Dedekind en números irracionales cuadráticos imaginarios. El resultado fue encontrado esencialmente por Lerch (1897) y redescubierto por Chowla y Selberg (1949, 1967).
En forma logarítmica, la fórmula de Chowla-Selberg establece que en ciertos casos la suma
se puede evaluar utilizando la fórmula del límite de Kronecker . Aquí χ es el símbolo del residuo cuadrático módulo D , donde −D es el discriminante de un campo cuadrático imaginario . La suma se toma 0 < r < D , con la convención habitual χ( r ) = 0 si r y D tienen un factor común. La función η es la función eta de Dedekind , h es el número de clase y w es el número de raíces de la unidad.
Ahora se considera que el origen de tales fórmulas está en la teoría de la multiplicación compleja y, en particular, en la teoría de períodos de una variedad abeliana de tipo CM . Esto ha llevado a mucha investigación y generalización. En particular, existe un análogo de la fórmula de Chowla-Selberg para números p-ádicos , que implica una función gamma p-ádica , llamada fórmula de Gross-Koblitz .
La fórmula de Chowla-Selberg proporciona una fórmula para un producto finito de valores de las funciones eta. Combinando esto con la teoría de la multiplicación compleja , se puede dar una fórmula para los valores absolutos individuales de la función eta como
para algún número algebraico α.
Usando la fórmula de reflexión para la función gamma se obtiene:
