Producto Cauchy

Concepto en matemáticas

En matemáticas , más específicamente en análisis matemático , el producto de Cauchy es la convolución discreta de dos series infinitas . Recibe su nombre en honor al matemático francés Augustin-Louis Cauchy .

Definiciones

El producto de Cauchy puede aplicarse a series infinitas ^{[1] [2] [3] [4] [5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ citas excesivas ]} o series de potencias. ^{[12] [13]} Cuando la gente lo aplica a secuencias finitas ^[14] o series finitas, esto puede verse simplemente como un caso particular de un producto de series con un número finito de coeficientes distintos de cero (ver convolución discreta ).

Las cuestiones de convergencia se analizan en la siguiente sección.

Producto de Cauchy de dos series infinitas

Sean y dos series infinitas con términos complejos. El producto de Cauchy de estas dos series infinitas se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera: ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$     dónde     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Producto de Cauchy de dos series de potencias

Considere las siguientes dos series de potencias

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$     y     ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}}$

con coeficientes complejos y . El producto de Cauchy de estas dos series de potencias se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera: ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}}$     dónde     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Convergencia y teorema de Mertens

Sean ( a _n ) _{n ≥0} y ( b _n ) _{n ≥0} sucesiones reales o complejas. Franz Mertens demostró que, si la serie converge a A y converge a B , y al menos una de ellas converge absolutamente , entonces su producto de Cauchy converge a AB . ^[15] El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (véase la primera línea de la siguiente demostración). ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

No es suficiente que ambas series sean convergentes; si ambas secuencias son condicionalmente convergentes , el producto de Cauchy no tiene por qué converger hacia el producto de las dos series, como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Consideremos las dos series alternas con

$${\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}$$

que sólo son condicionalmente convergentes (la divergencia de la serie de valores absolutos se desprende de la prueba de comparación directa y la divergencia de la serie armónica ). Los términos de su producto de Cauchy están dados por

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}$$

para cada entero n ≥ 0 . Como para cada k ∈ {0, 1, ..., n } tenemos las desigualdades k + 1 ≤ n + 1 y n – k + 1 ≤ n + 1 , se sigue para la raíz cuadrada en el denominador que √ ( k + 1)( n − k + 1) ≤ n +1 , por lo tanto, como hay n + 1 sumandos,

$${\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}$$

para cada entero n ≥ 0 . Por lo tanto, c _n no converge a cero cuando n → ∞ , por lo tanto la serie de ( c _n ) _{n ≥0} diverge por el término test .

Demostración del teorema de Mertens

Para simplificar, lo demostraremos para números complejos. Sin embargo, la demostración que vamos a dar es formalmente idéntica para cualquier álgebra de Banach (ni siquiera se requiere conmutatividad o asociatividad).

Supongamos sin pérdida de generalidad que la serie converge absolutamente. Definamos las sumas parciales ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}}$$

con

$${\displaystyle c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}}$$

por reordenamiento, por lo tanto

Fije ε > 0 . Puesto que por convergencia absoluta, y puesto que B _n converge a B cuando n → ∞ , existe un entero N tal que, para todos los enteros n ≥ N , ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$

(este es el único lugar donde se utiliza la convergencia absoluta). Puesto que la serie de ( a _n ) _{n ≥0} converge, el individuo a _n debe converger a 0 mediante la prueba del término . Por lo tanto, existe un entero M tal que, para todos los enteros n ≥ M ,

Además, como A _n converge a A cuando n → ∞ , existe un entero L tal que, para todos los enteros n ≥ L ,

Luego, para todos los números enteros n ≥ max{ L , M + N } , use la representación ( 1 ) para C _n , divida la suma en dos partes, use la desigualdad triangular para el valor absoluto y, finalmente, use las tres estimaciones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) para demostrar que

$${\displaystyle {\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}}$$

Por la definición de convergencia de una serie , C _n → AB como se requiere.

Teorema de Cesáro

En los casos en que las dos secuencias son convergentes pero no absolutamente convergentes, el producto de Cauchy sigue siendo sumable según Cesàro . ^[16] Específicamente:

Si , son sucesiones reales con y entonces ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.}$$

Esto se puede generalizar al caso en que las dos secuencias no son convergentes sino simplemente sumables mediante Cesàro:

Teorema

Para y , supongamos que la secuencia es sumable con suma A y es sumable con suma B . Entonces su producto de Cauchy es sumable con suma AB . ${\textstyle r>-1}$ ${\textstyle s>-1}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;r)}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;s)}$ ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$

Ejemplos

• Para algunos , sean y . Entonces, por definición y la fórmula binomial . Puesto que, formalmente , y , hemos demostrado que . Puesto que el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, hemos demostrado la fórmula para todos los . ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}}$$ ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$
• Como segundo ejemplo, supongamos que para todos . Entonces, para todos entonces el producto de Cauchy no converge. ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle c_{n}=n+1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$$

Generalizaciones

Todo lo anterior se aplica a sucesiones en ( números complejos ). El producto de Cauchy se puede definir para series en los espacios ( espacios euclidianos ) donde la multiplicación es el producto interno . En este caso, tenemos el resultado de que si dos series convergen absolutamente, entonces su producto de Cauchy converge absolutamente al producto interno de los límites. ${\textstyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Productos de un número finito de series infinitas

Sea tal que (en realidad lo siguiente también es cierto para pero la afirmación se vuelve trivial en ese caso) y sea una serie infinita con coeficientes complejos, de la que todas excepto la n convergen absolutamente, y la n converge. Entonces el límite existe y tenemos: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$ $${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$

Prueba

Porque la afirmación puede probarse por inducción sobre : ​​El caso de es idéntico a la afirmación sobre el producto de Cauchy. Esta es nuestra base de inducción. $${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

El paso de inducción es el siguiente: Sea la afirmación verdadera para un tal que , y sea una serie infinita con coeficientes complejos, de la que todas excepto la th convergen absolutamente, y la -th converge. Primero aplicamos la hipótesis de inducción a la serie . Obtenemos que la serie converge, y por lo tanto, por la desigualdad triangular y el criterio del sándwich, la serie converge, y por lo tanto la serie converge absolutamente. Por lo tanto, por la hipótesis de inducción, por lo que demostró Mertens, y por el cambio de nombre de las variables, tenemos: Por lo tanto, la fórmula también es válida para . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|}$$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|}$$ $${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$

Relación con la convolución de funciones

Una secuencia finita puede verse como una secuencia infinita con solo un número finito de términos distintos de cero, o en otras palabras, como una función con un soporte finito. Para cualquier función de valor complejo f , g con un soporte finito, se puede tomar su convolución : Entonces es lo mismo que el producto de Cauchy de y . ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).}$$ ${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ ${\textstyle \sum f(n)}$ ${\textstyle \sum g(n)}$

De manera más general, dado un monoide S , se puede formar el álgebra de semigrupos de S , con la multiplicación dada por convolución. Si se toma, por ejemplo, , entonces la multiplicación por es una generalización del producto de Cauchy a una dimensión superior. ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$

Notas

1. Canuto y Tabaco 2015, pag. 20.
2. Bloch 2011, pág. 463.
3. Friedman y Kandel 2011, pág. 204.
4. Ghorpade y Limaye 2006, pág. 416.
5. Hiyab 2011, pág. 43.
6. Montesinos, Zizler y Zizler 2015, pag. 98.
7. Oberguggenberger y Ostermann 2011, pág. 322.
8. Pedersen 2015, pág. 210.
9. Ponnusamy 2012, pág. 200.
10. Pugh 2015, pág. 210.
11. Sohrab 2014, pág. 73.
12. Canuto y Tabaco 2015, pag. 53.
13. Mathonline, Producto de Cauchy de series de potencias.
14. Weisstein, Producto Cauchy.
15. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill. pág. 74.
16. Hardy, Godfrey H. (2000). Serie Divergente (2. ª ed. (sin modificaciones textuales), reedición). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-2649-2.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2.ª ed.), Addison Wesley, pág. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.

• Bloch, Ethan D. (2011), Los números reales y el análisis real, Springer , ISBN 9780387721767.

• Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Análisis matemático II (2.ª ed.), Springer.

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Cálculo ligero, Springer , ISBN 9783642178481.

• Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2006), Un curso de cálculo y análisis real , Springer.

• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford University Press , págs. 227-229.

• Hijab, Omar (2011), Introducción al cálculo y al análisis clásico (3.ª ed.), Springer.

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), Introducción al análisis moderno , Springer.

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Análisis para científicos informáticos , Springer.

• Pedersen, Steen (2015), Del cálculo al análisis , Springer , doi :10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0.

• Ponnusamy, S. (2012), Fundamentos del análisis matemático, Birkhäuser , ISBN 9780817682927.

• Pugh, Charles C. (2015), Análisis matemático real (2.ª ed.), Springer.

• Sohrab, Houshang H. (2014), Análisis real básico (2.ª ed.), Birkhäuser.

Enlaces externos

• Mathonline. "Producto de Cauchy de series de potencias"..
• Weisstein, Eric W., "Producto de Cauchy", de MathWorld – Un recurso web de Wolfram.