celosía sesgada

En álgebra abstracta , una red sesgada es una estructura algebraica que es una generalización no conmutativa de una red . Si bien el término red sesgada se puede utilizar para referirse a cualquier generalización no conmutativa de una red, desde 1989 se ha utilizado principalmente de la siguiente manera.

Definición

Una red sesgada es un conjunto S equipado con dos operaciones binarias idempotentes y asociativas , llamadas encuentro y unión , que validan el siguiente par dual de leyes de absorción ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle x\wedge (x\vee y)=x=(y\vee x)\wedge x}$,

${\displaystyle x\vee (x\wedge y)=x=(y\wedge x)\vee x}$.

Dado que y son asociativos e idempotentes, estas identidades equivalen a validar el siguiente par dual de enunciados: ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle x\vee y=x}$si , ${\displaystyle x\wedge y=y}$

${\displaystyle x\wedge y=x}$si . ^[1] ${\displaystyle x\vee y=y}$

Antecedentes históricos

Durante más de 60 años, se han estudiado variaciones no conmutativas de redes con diferentes motivaciones. Para algunos, la motivación ha sido el interés en los límites conceptuales de la teoría de la red ; para otros fue una búsqueda de formas no conmutativas de lógica y álgebra booleana ; y para otros ha sido el comportamiento de idempotentes en anillos . Una red no conmutativa , en términos generales, es un álgebra donde y son operaciones binarias idempotentes asociativas conectadas por identidades de absorción que garantizan que de alguna manera se dualiza . Las identidades precisas elegidas dependen de la motivación subyacente, y las diferentes elecciones producen distintas variedades de álgebras . ${\displaystyle (S;\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$

Pascual Jordan , motivado por cuestiones de lógica cuántica , inició un estudio de redes no conmutativas en su artículo de 1949, Über Nichtkommutative Verbände , ^[2] eligiendo las identidades de absorción.

${\displaystyle x\wedge (y\vee x)=x=(x\wedge y)\vee x.}$

Se refirió a aquellas álgebras que los satisfacían como Schrägverbände . Al variar o aumentar estas identidades, Jordan y otros obtuvieron diversas variedades de redes no conmutativas. A partir del artículo de Jonathan Leech de 1989, Skew lattices in rings ^[3] , los principales objetos de estudio han sido los enrejados sesgados como se definen anteriormente. Esto fue ayudado por resultados previos sobre bandas . Este fue especialmente el caso de muchas de las propiedades básicas.

Propiedades básicas

Orden parcial natural y cuasiorden natural

En una red sesgada , el orden parcial natural se define por si , o dualmente ,. El preorden natural está dado por if o dualmente . Mientras que y convienen en redes, se refina adecuadamente en el caso no conmutativo. La equivalencia natural inducida se define por si , es decir, y o dualmente, y . Los bloques de la partición están ordenados enrejadamente por if y existen de manera que . Esto nos permite dibujar diagramas de Hasse de redes sesgadas como el siguiente par: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x\wedge y=y=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y=x=y\vee x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle xDy}$ ${\displaystyle x\preceq y\preceq x}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$ ${\displaystyle y\wedge x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x}$ ${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a>b}$

Por ejemplo, en el diagrama de arriba a la izquierda, que y están relacionados se expresa mediante el segmento discontinuo. Las líneas inclinadas revelan el orden parcial natural entre elementos de las distintas clases. Los elementos y forman las clases singleton. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle D}$

Celosías rectangulares oblicuas

Las celosías oblicuas que constan de una sola clase se denominan rectangulares . Se caracterizan por las identidades equivalentes: , y . Las redes sesgadas rectangulares son isomorfas a las redes sesgadas que tienen la siguiente construcción (y viceversa): dados conjuntos no vacíos y , al definir y . La partición de clase de una red sesgada , como se indica en los diagramas anteriores, es la partición única de en sus subálgebras rectangulares máximas. Además, es una congruencia con el álgebra del cociente inducido que es la imagen máxima de la red de , lo que hace que cada red sesgada sea una celosía de subálgebras rectangulares. Este es el teorema de Clifford-McLean para redes sesgadas, presentado por primera vez para bandas por separado por Clifford y McLean. También se conoce como el primer teorema de descomposición para redes sesgadas . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=x}$ ${\displaystyle y\vee x\vee y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=y\wedge x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L\times R}$ ${\displaystyle (x,y)\vee (z,w)=(z,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\wedge (z,w)=(x,w)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Redes sesgadas hacia la derecha (izquierda) y la factorización de Kimura

Una red sesgada es diestra si satisface la identidad o dualmente . Estas identidades esencialmente afirman eso y en cada clase. Cada red sesgada tiene una imagen máxima única hacia la derecha donde la congruencia se define por si ambos y (o dualmente, y ). Del mismo modo, una red sesgada es zurda si y en cada clase. Nuevamente, la imagen máxima hacia la izquierda de una red sesgada es la imagen donde la congruencia se define de manera dual . Muchos ejemplos de redes sesgadas son para diestros o zurdos. En el entramado de congruencias, y es la congruencia identidad . El epimorfismo inducido se factoriza a través de ambos epimorfismos inducidos y . El escenario , el homomorfismo definido por , induce un isomorfismo . Esta es la factorización de Kimura en un producto fibroso de sus imágenes máximas derecha e izquierda. ${\displaystyle x\wedge y\wedge x=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y\vee x=x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle xLy}$ ${\displaystyle x\wedge y=x}$ ${\displaystyle y\wedge x=y}$ ${\displaystyle x\vee y=y}$ ${\displaystyle y\vee x=x}$ ${\displaystyle x\wedge y=x}$ ${\displaystyle x\vee y=y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R\vee L=D}$ ${\displaystyle R\cap L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S\rightarrow S/D}$ ${\displaystyle S\rightarrow S/L}$ ${\displaystyle S\rightarrow S/R}$ ${\displaystyle T=S/D}$ ${\displaystyle k:S\rightarrow S/L\times S/R}$ ${\displaystyle k(x)=(L_{x},R_{x})}$ ${\displaystyle k*:S\sim S/L\times _{T}S/R}$ ${\displaystyle S}$

Al igual que el teorema de Clifford-McLean, la factorización de Kimura (o el segundo teorema de descomposición para redes sesgadas ) se dio por primera vez para bandas regulares (bandas que satisfacen la identidad de absorción media, ). De hecho, ambos y son operaciones regulares de la banda. Los símbolos anteriores provienen , por supuesto, de la teoría básica de semigrupos. ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]} ${\displaystyle xyxzx=xyzx}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$

Subvariedades de celosías sesgadas.

Las celosías sesgadas forman una variedad. Las redes sesgadas rectangulares, las redes sesgadas hacia la izquierda y hacia la derecha forman subvariedades que son fundamentales para la teoría de la estructura básica de las redes sesgadas. Aquí hay varios más.

Celosías sesgadas simétricas

Una red sesgada S es simétrica si para cualquiera , si . Las ocurrencias de conmutación son, por lo tanto, inequívocas para tales redes sesgadas, con subconjuntos de elementos de conmutación por pares que generan subálgebras conmutativas, es decir, subredes. (Esto no es cierto para las redes sesgadas en general). Las bases ecuacionales para esta subvariedad, dadas por primera vez por Spinks ^[11] son: y . Una sección de red de una red oblicua es una subred que reúne cada clase de en un solo elemento. es, por tanto, una copia interna de la red y la composición es un isomorfismo. Todas las celosías simétricas oblicuas para las que se admite una sección de celosía. ^[10] Simétrica o no, tener una sección reticular garantiza que también tenga copias internas de y dadas respectivamente por y , donde y son las clases de congruencia y de en . Por tanto y son isomorfismos. ^[8] Esto conduce a un diagrama de conmutación de incrustación dualizando el diagrama de Kimura anterior. ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\wedge y=y\wedge x}$ ${\displaystyle x\vee y=y\vee x}$ ${\displaystyle x\vee y\vee (x\wedge y)=(y\wedge x)\vee y\vee x}$ ${\displaystyle x\wedge y\wedge (x\vee y)=(y\vee x)\wedge y\wedge x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle T\subseteq S\rightarrow S/D}$ ${\displaystyle |S/D|\leq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/L}$ ${\displaystyle S/R}$ ${\displaystyle T[R]=\bigcup _{t\in T}R_{t}}$ ${\displaystyle T[L]=\bigcup _{t\in T}L_{t}}$ ${\displaystyle R_{t}}$ ${\displaystyle Lt}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T[R]\subseteq S\rightarrow S/L}$ ${\displaystyle T[L]\subseteq S\rightarrow S/R}$

Redes sesgadas canceladoras

Una red sesgada es cancelable si y implica y asimismo y implica . Las celosías sesgadas de Cancellatice son simétricas y se puede demostrar que forman una variedad. A diferencia de las redes, no es necesario que sean distributivas y viceversa. ${\displaystyle x\vee y=x\vee z}$ ${\displaystyle x\wedge y=x\wedge z}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$ ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$ ${\displaystyle x=y}$

Redes sesgadas distributivas

Las redes sesgadas distributivas están determinadas por las identidades:

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge x=(x\wedge y\wedge x)\vee (x\wedge z\wedge x)}$ (D1)

${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee x=(x\vee y\vee x)\wedge (x\vee z\vee x).}$(D'1)

A diferencia de las redes, (D1) y (D'1) no son equivalentes en general para redes sesgadas, pero sí lo son para redes sesgadas simétricas. ^{[9] [12] [13]} La condición (D1) se puede reforzar para

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)\wedge w=(x\wedge y\wedge w)\vee (x\wedge z\wedge w)}$(D2)

en cuyo caso (D'1) es una consecuencia. Una red sesgada satisface tanto (D2) como su dual, si y sólo si se factoriza como el producto de una red distributiva y una red sesgada rectangular. En este último caso (D2) se puede reforzar para ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)\vee w=(x\vee y\vee w)\wedge (x\vee z\vee w)}$

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$y . (D3) ${\displaystyle (y\vee z)\wedge w=(y\wedge w)\vee (z\wedge w)}$

Por sí solo, (D3) es equivalente a (D2) cuando se le suma simetría. ^[3] Por lo tanto, tenemos seis subvariedades de redes sesgadas determinadas respectivamente por (D1), (D2), (D3) y sus duales.

Redes sesgadas normales

Como se vio arriba, y satisface la identidad . Las bandas que satisfacen la identidad más fuerte, , se denominan normales. Una red sesgada es sesgada normal si satisface ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle xyxzx=xyzx}$ ${\displaystyle xyzx=xzyx}$

${\displaystyle x\wedge y\wedge z\wedge x=x\wedge z\wedge y\wedge x.(N)}$

Para cada elemento a en una red sesgada normal , el conjunto definido por { } o equivalentemente { } es una subred de , y viceversa. (Por lo tanto, las redes sesgadas normales también se denominan redes locales). Cuando ambos y son normales, se divide isomórficamente en un producto de una red sesgada y una red sesgada rectangular , y viceversa. Por lo tanto, tanto las redes sesgadas normales como las redes sesgadas divididas forman variedades. Volviendo a la distribución, esto caracteriza la variedad de redes sesgadas normales y distributivas, y (D3) caracteriza la variedad de redes sesgadas normales, distributivas y simétricas. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$ ${\displaystyle a\wedge x\wedge a|x\in S}$ ${\displaystyle x\in S|x\leq a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\times D}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D2)=(D1)+(N)}$ ${\displaystyle (D2)}$

Celosías sesgadas categóricas

Una red sesgada es categórica si los compuestos no vacíos de biyecciones laterales son biyecciones laterales. Las celosías sesgadas categóricas forman una variedad. Las redes sesgadas en anillos y las redes sesgadas normales son ejemplos de álgebras de esta variedad. ^[4] Sea con , y , la biyección lateral de a tomando a , la biyección lateral de a tomando a y finalmente la biyección lateral de a tomando a . Una red sesgada es categórica si siempre se tiene la igualdad , es decir, si la biyección parcial compuesta si no está vacía es una biyección lateral de una clase lateral de a una clase lateral de . Eso es . Todas las redes sesgadas distributivas son categóricas. Aunque las redes simétricas y sesgadas podrían no serlo. En cierto sentido, revelan la independencia entre las propiedades de simetría y distributividad. ^{[3] [4] [6] [9] [10] [11] [13] [14]} ${\displaystyle a>b>c}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\chi }$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\wedge b\wedge A)\cap (C\vee b\vee C)=(C\vee a\vee C)\wedge b\wedge (C\vee a\vee C)=(A\wedge c\wedge A)\vee b\vee (A\wedge c\wedge A)}$

Sesgar álgebras booleanas

Un elemento cero en una red sesgada S es un elemento 0 de S tal que para todos o, dualmente, (0) ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle 0\wedge x=0=x\wedge 0}$ ${\displaystyle 0\vee x=x=x\vee 0.}$

Una red sesgada booleana es una red sesgada normal distributiva simétrica con 0, tal que es una red booleana para cada una. Dada dicha red sesgada S , un operador de diferencia \ se define por x \ y = donde este último se evalúa en la red booleana ^{[ 1]} En presencia de (D3) y (0), \ se caracteriza por las identidades: ${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,0),}$ ${\displaystyle a\wedge S\wedge a}$ ${\displaystyle a\in S.}$ ${\displaystyle x-x\wedge y\wedge x}$ ${\displaystyle x\wedge S\wedge x.}$

${\displaystyle y\wedge x\setminus y=0=x\setminus y\wedge y}$y (SB) ${\displaystyle (x\wedge y\wedge x)\vee x\setminus y=x=x\setminus y\vee (x\wedge y\wedge x).}$

Por lo tanto, se tiene una variedad de álgebras booleanas sesgadas caracterizadas por identidades (D3), (0) y (SB). Un álgebra booleana sesgada primitiva consta de 0 y una única clase D distinta de 0 . Por lo tanto, es el resultado de unir un 0 a una red sesgada rectangular D mediante (0) con , si y en caso contrario. Todo álgebra booleana sesgada es un producto subdirecto de álgebras primitivas. Las álgebras booleanas sesgadas desempeñan un papel importante en el estudio de variedades discriminadoras y otras generalizaciones en el álgebra universal del comportamiento booleano. ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]} ${\displaystyle (S;\vee ,\wedge ,\,0)}$ ${\displaystyle x\setminus y=x}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle 0}$

Sesgar celosías en anillos.

Sea un anillo y denotemos el conjunto de todos los idempotentes en . Para todo listo y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle x\wedge y=xy}$ ${\displaystyle x\vee y=x+y-xy}$

Claramente pero también es asociativo . Si un subconjunto está cerrado bajo y , entonces es una red sesgada distributiva y canceladora. Para encontrar tales redes sesgadas en uno se miran las bandas en , especialmente las que son máximas con respecto a alguna restricción. De hecho, cada banda multiplicativa que es máxima con respecto a ser regular a la derecha (=) también está cerrada por debajo y, por lo tanto, forma una red sesgada hacia la derecha. En general, cada banda regular derecha genera una red sesgada hacia la derecha en . Las observaciones duales también son válidas para las bandas regulares izquierdas (bandas que satisfacen la identidad ) en . No es necesario cerrar las bandas regulares máximas según lo definido; Los contraejemplos se encuentran fácilmente utilizando bandas rectangulares multiplicativas. Estos casos se cierran, sin embargo, bajo la variante cúbica de definido por ya que en estos casos se reduce a dar la banda rectangular dual. Al reemplazar la condición de regularidad por normalidad , cada banda multiplicativa normal máxima en también se cierra con , donde , forma una red sesgada booleana. Cuando se cierra bajo la multiplicación, entonces es una banda normal y, por lo tanto, forma una red sesgada booleana. De hecho, cualquier álgebra booleana sesgada puede integrarse en dicha álgebra. ^[26] Cuando A tiene una identidad multiplicativa , se sabe que la condición de que es multiplicativamente cerrada implica que se forma un álgebra booleana. Las celosías sesgadas en anillos siguen siendo una buena fuente de ejemplos y motivación. ^{[23] [27] [28] [29] [30]} ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle S\subseteq E(A)}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle (S,\wedge ,\vee )}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle xyx=xy}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle x\nabla y=x+y+yx-xyx-yxy}$ ${\displaystyle x\nabla y}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle (xyzw=xzyw)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle (S;\wedge ,\vee ,/,0)}$ ${\displaystyle x/y=x-xyx}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E(A)}$ ${\displaystyle E(A)}$

Celosías sesgadas primitivas

Las redes sesgadas que constan exactamente de dos clases D se denominan redes sesgadas primitivas. Dada una red sesgada con clases en , entonces para cualquiera y , los subconjuntos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle A\wedge b\wedge A=}${ } y { } ${\displaystyle u\wedge b\wedge u:u\in A}$ ${\displaystyle \subseteq B}$ ${\displaystyle B\vee a\vee B=}$ ${\displaystyle v\vee a\vee v:v\in B}$ ${\displaystyle \subseteq A}$

se denominan, respectivamente, clases laterales de A en B y clases laterales de B en A. Estas clases laterales dividen B y A con y . Las clases laterales son siempre subálgebras rectangulares en sus clases. Es más, el orden parcial induce una biyección lateral definida por: ${\displaystyle b\in A\wedge b\wedge A}$ ${\displaystyle a\in B\wedge a\wedge B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \varphi :B\vee a\vee B\rightarrow A\wedge b\wedge A}$

${\displaystyle \phi (x)=y}$ si , para y . ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x\in B\vee a\vee B}$ ${\displaystyle y\in A\wedge b\wedge A}$

En conjunto, las biyecciones laterales describen entre los subconjuntos y . También determinan y para pares de elementos de clases distintas. De hecho, dado y , sea la biyección de costos entre las clases laterales en y en . Entonces: ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle B\vee a\vee B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wedge b\wedge A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle a\vee b=a\vee \varphi -1(b),b\vee a=\varphi -1(b)\vee a}$ y . ${\displaystyle a\wedge b=\varphi (a)\wedge b,b\wedge a=b\wedge \varphi (a)}$

En general, dado y con y , entonces pertenecen a una clase lateral común en y pertenecen a una clase lateral común en si y solo si . Así, cada biyección lateral es, en algún sentido, una colección máxima de pares mutuamente paralelos . ${\displaystyle a,c\in A}$ ${\displaystyle b,d\in B}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle c>d}$ ${\displaystyle a,c}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b,d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a>b//c>d}$ ${\displaystyle a>b}$

Cada red sesgada primitiva se factoriza como el producto fibroso de sus imágenes primitivas máximas izquierda y derecha . Las celosías sesgadas primitivas hacia la derecha se construyen de la siguiente manera. Sean y particiones de conjuntos disjuntos no vacíos y , donde todos y comparten un tamaño común. Para cada par, elija una biyección fija de hacia . Encendido y configurado por separado y ; pero dado y , puesto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S/R\times _{2}S/L}$ ${\displaystyle A=\cup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle B=\cup _{j}B_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \varphi _{i},j}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\wedge y=y}$ ${\displaystyle x\vee y=x}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle a\vee b=a,b\vee a=a',a\wedge b=b}$y ${\displaystyle b\wedge a=b'}$

donde y con perteneciente a la célula de y perteneciente a la célula de . Las diversas son las biyecciones coset. Esto se ilustra en el siguiente diagrama parcial de Hasse donde y las flechas indican las salidas y desde y . ${\displaystyle \varphi _{i,j}(a')=b}$ ${\displaystyle \varphi _{i,j}(a)=b'}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi i,j}$ ${\displaystyle |A_{i}|=|B_{j}|=2}$ ${\displaystyle \varphi _{i,j}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Se construyen celosías sesgadas primitivas hacia la izquierda de forma dual. Todas las celosías sesgadas primitivas derechas [izquierdas] se pueden construir de esta manera. ^[3]

La estructura lateral de las celosías sesgadas.

Una red sesgada no rectangular está cubierta por sus redes sesgadas primitivas máximas: dadas clases comparables en , forma una subálgebra primitiva máxima de y cada clase en se encuentra en dicha subálgebra. Las estructuras laterales de estas subálgebras primitivas se combinan para determinar los resultados y al menos cuándo y son comparables en . Resulta que y están determinadas en general por las clases laterales y sus biyecciones, aunque de una manera ligeramente menos directa que en el caso comparable. En particular, dadas dos clases D incomparables , A y B, que se unen a la clase D J y se encuentran con la clase D en , surgen conexiones interesantes entre las dos descomposiciones de clases laterales de J (o M) con respecto a A y B. ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A>B}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x\wedge y}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S/D}$

Por lo tanto, una red sesgada puede verse como un atlas de clases laterales de redes sesgadas rectangulares colocadas en los vértices de una red y biyecciones de clases laterales entre ellas, estas últimas vistas como isomorfismos parciales entre las álgebras rectangulares y cada biyección de clases laterales determina un par de clases laterales correspondientes. Esta perspectiva proporciona, en esencia, el diagrama de Hasse de la red sesgada, que se dibuja fácilmente en casos de orden relativamente pequeño. (Consulte los diagramas de la Sección 3 anterior). Dada una cadena de clases D en , se tienen tres conjuntos de biyecciones laterales: de A a B, de B a C y de A a C. En general, dadas las biyecciones laterales y , la composición de biyecciones parciales podría estar vacía. Si no es así, entonces existe una biyección lateral única tal que . (Nuevamente, es una biyección entre un par de clases laterales en y .) Esta inclusión puede ser estricta. Siempre es una igualdad (dada ) en una red sesgada S dada precisamente cuando S es categórica. En este caso, al incluir los mapas de identidad en cada clase D rectangular y unir biyecciones vacías entre clases D adecuadamente comparables , se tiene una categoría de álgebras rectangulares y biyecciones laterales entre ellas. Los ejemplos simples de la Sección 3 son categóricos. ${\displaystyle A>B>C}$ ${\displaystyle S/D}$ ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \psi :B\rightarrow C}$ ${\displaystyle \psi \varphi }$ ${\displaystyle \chi :A\rightarrow C}$ ${\displaystyle \psi \varphi \subseteq \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi \varphi \neq \emptyset }$

Ver también

• Teoría de semigrupos
• Teoría de la red

Referencias

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2. Jordan, P. Uber Nichtkommutative Verbände, Arq. Matemáticas. 2 (1949), 56–59.
3. Leech, J, Rejillas sesgadas en anillos, Algebra Universalis, 26 (1989), 48-72
4. Leech, J, Desarrollos recientes en la teoría de redes sesgadas, Semigroup Forum , 52 (1996), 7-24.
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6. Leech, J, La geometría de las celosías sesgadas, Semigroup Forum , 52 (1993), 7-24.
7. Leech, J, Redes sesgadas normales, Semigroup Forum , 44 (1992), 1-8.
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