cardenal mahlo

Concepto en matemáticas

En matemáticas , un cardinal de Mahlo es un cierto tipo de número cardinal grande . Los cardenales de Mahlo fueron descritos por primera vez por Paul Mahlo  (1911, 1912, 1913). Como ocurre con todos los cardenales grandes, ZFC no puede demostrar la existencia de ninguna de estas variedades de cardenales de Mahlo (suponiendo que ZFC sea consistente ).

Un número cardinal se llama fuertemente Mahlo si es fuertemente inaccesible y el conjunto es estacionario en κ. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}}$

Un cardenal se llama débilmente Mahlo si es débilmente inaccesible y el conjunto de cardenales débilmente inaccesibles es menor que es estacionario en . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

El término "cardenal de Mahlo" ahora generalmente significa "cardenal fuerte de Mahlo", aunque los cardenales originalmente considerados por Mahlo eran cardenales débiles de Mahlo.

Condición mínima suficiente para un cardenal Mahlo

• Si κ es un ordinal límite y el conjunto de ordinales regulares menores que κ es estacionario en κ, entonces κ es débilmente Mahlo.

La principal dificultad para demostrar esto es demostrar que κ es regular. Supondremos que no es regular y construiremos un conjunto de palos que nos dé un μ tal que:

μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ lo cual es una contradicción.

Si κ no fuera regular, entonces cf(κ) < κ. Podríamos elegir una secuencia cf(κ) estrictamente creciente y continua que comience con cf(κ)+1 y tenga κ como límite. Los límites de esa secuencia serían club en κ. Entonces debe haber un μ regular entre esos límites. Entonces μ es un límite de una subsecuencia inicial de la secuencia cf(κ). Por tanto, su cofinalidad es menor que la cofinalidad de κ y mayor que ella al mismo tiempo; lo cual es una contradicción. Por tanto, la suposición de que κ no es regular debe ser falsa, es decir, κ es regular.

No puede existir ningún conjunto estacionario a continuación con la propiedad requerida porque {2,3,4,...} es club en ω pero no contiene ordinales regulares; entonces κ es incontable. Y es un límite regular de cardenales regulares; por lo que es débilmente inaccesible. Luego se utiliza el conjunto de cardinales límite incontables por debajo de κ como un conjunto de garrotes para mostrar que se puede suponer que el conjunto estacionario consta de inaccesibles débiles. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

• Si κ es Mahlo débil y también un límite fuerte, entonces κ es Mahlo.

κ es débilmente inaccesible y un límite fuerte, por lo que es fuertemente inaccesible.

Mostramos que el conjunto de cardinales de límite fuerte incontables por debajo de κ es un club en κ. Sea μ ₀ el mayor del umbral y ω ₁ . Para cada n finito, sea μ _n+1 = 2 ^{μ _n} que es menor que κ porque es un límite cardinal fuerte. Entonces su límite es un límite cardinal fuerte y es menor que κ por su regularidad. Los límites de incontables cardenales de límite fuerte también son incontables cardenales de límite fuerte. Entonces el conjunto de ellos es club en κ. Interseca ese conjunto de clubes con el conjunto estacionario de cardenales débilmente inaccesibles menores que κ para obtener un conjunto estacionario de cardenales fuertemente inaccesibles menores que κ.

Ejemplo: mostrar que los cardenales de Mahlo κ son κ-inaccesibles (hiper-inaccesibles)

El término "hiper-inaccesible" es ambiguo. En esta sección, un cardinal κ se denomina hiperinaccesible si es κ-inaccesible (a diferencia del significado más común de 1-inaccesible).

Supongamos que κ es Mahlo. Procedemos por inducción transfinita en α para demostrar que κ es α-inaccesible para cualquier α ≤ κ. Como κ es Mahlo, κ es inaccesible; y por tanto 0-inaccesible, que es lo mismo.

Si κ es α-inaccesible, entonces hay β-inaccesibles (para β < α) arbitrariamente cerca de κ. Considere el conjunto de límites simultáneos de tales β-inaccesibles mayores que algún umbral pero menores que κ. Es ilimitado en κ (imagínese rotar a través de β-inaccesibles para β < α ω veces eligiendo un cardinal más grande cada vez, luego tome el límite que es menor que κ por regularidad (esto es lo que falla si α ≥ κ)). Está cerrado, por lo que es un club en κ. Entonces, según la Mahlo-ness de κ, contiene un inaccesible. Ese inaccesible es en realidad un α-inaccesible. Entonces κ es α+1-inaccesible.

Si λ ≤ κ es un ordinal límite y κ ​​es α-inaccesible para todos los α < λ, entonces cada β < λ también es menor que α para algunos α < λ. Entonces este caso es trivial. En particular, κ es κ-inaccesible y, por tanto, hiperinaccesible .

Para demostrar que κ es un límite de hiperinacesibles y, por tanto, 1-hiperinacesibles, debemos demostrar que el conjunto diagonal de cardinales μ < κ que son α-inaccesibles para cada α < μ es un club en κ. Elija un 0-inaccesible por encima del umbral, llámelo α ₀ . Luego elija un α ₀ -inaccesible, llámelo α ₁ . Sigue repitiendo esto y tomando límites en los límites hasta llegar a un punto fijo, llámalo μ. Entonces μ tiene la propiedad requerida (ser un límite simultáneo de α-inaccesibles para todos α < μ) y es menor que κ por regularidad. Los límites de dichos cardinales también tienen la propiedad, por lo que el conjunto de ellos es club en κ. Por Mahlo-ness de κ, hay algo inaccesible en este conjunto y es hiper-inaccesible. Entonces κ es 1-hiper-inaccesible. Podemos cruzar este mismo conjunto de clubes con el conjunto estacionario menor que κ para obtener un conjunto estacionario de hiperinaccesibles menores que κ.

El resto de la prueba de que κ es α-hiper-inaccesible imita la prueba de que es α-inaccesible. Entonces κ es hiper-hiper-inaccesible, etc.

Cardenales α-Mahlo, hiper-Mahlo y enormemente Mahlo

El término α-Mahlo es ambiguo y diferentes autores dan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardinal κ se llama α-Mahlo para algún ordinal α si κ es fuertemente inaccesible y para cada ordinal β<α, el conjunto de cardenales β-Mahlo debajo de κ es estacionario en κ. Sin embargo, la condición "κ es fuertemente inaccesible" a veces se reemplaza por otras condiciones, como "κ es regular" o "κ es débilmente inaccesible" o "κ es Mahlo". Podemos definir "hiper-Mahlo", "α-hiper-Mahlo", "hiper-hiper-Mahlo", "α-Mahlo débil", "hiper-Mahlo débil", "α-hiper-Mahlo débil", etc. adelante, por analogía con las definiciones de inaccesibles, así por ejemplo un cardinal κ se llama hiper-Mahlo si es κ-Mahlo.

Un cardinal incontable regular κ es en gran medida Mahlo si y sólo si hay un filtro κ-completo normal (es decir, no trivial y cerrado bajo intersecciones diagonales ) en el conjunto de potencias de κ que está cerrado bajo la operación de Mahlo, que mapea el conjunto de ordinales S a {α S : α tiene cofinalidad incontable y S∩α es estacionario en α} ${\displaystyle \in }$

Para α < κ ⁺ , defina los subconjuntos M _α (κ) ⊆ κ inductivamente de la siguiente manera:

• M ₀ (κ) es el conjunto de cardinales regulares debajo de κ,
• M _α+1 (κ) es el conjunto de regulares λ < κ tales que M _α (κ) ∩ λ es estacionario en λ,
• para límites α con cf(α) < κ, M _α (κ) es la intersección de M _β (κ) sobre todo β < α, y
• para límites α con cf(α) = κ, elija una enumeración f : κ → α de un subconjunto cofinal. Entonces, M _α (κ) es el conjunto de todos los λ < κ tales que λ ∈ M _f(γ) (κ) para todo γ < λ.

Aunque la definición exacta depende de la elección del subconjunto cofinal para cada α < κ ⁺ de cofinalidad κ, cualquier elección dará la misma secuencia de subconjuntos módulo el ideal no estacionario.

Para δ ≤ κ ⁺ , κ se llama entonces δ-Mahlo si y sólo si M _α (κ) es estacionario en κ para todo α < δ. Un cardinal κ es κ ⁺ -Mahlo si y sólo si es enormemente Mahlo.

Las propiedades de ser inaccesible, Mahlo, Mahlo débil, α-Mahlo, Mahlo grande, etc. se conservan si reemplazamos el universo por un modelo interno .

Cada cardenal reflectante tiene estrictamente más fuerza de consistencia que un gran Mahlo, pero los cardenales reflectantes inaccesibles no son en general Mahlo; consulte https://mathoverflow.net/q/212597

La operación Mahlo

Si X es una clase de ordinales, entonces podemos formar una nueva clase de ordinales M ( X ) que consta de los ordinales α de cofinalidad incontable tal que α∩ X es estacionario en α. Esta operación M se llama operación Mahlo . Se puede utilizar para definir los cardenales de Mahlo: por ejemplo, si X es la clase de cardenales regulares, entonces M ( X ) es la clase de cardenales débilmente de Mahlo. La condición de que α tenga cofinalidad incontable garantiza que los subconjuntos cerrados e ilimitados de α estén cerrados bajo la intersección y, por lo tanto, formen un filtro; en la práctica, los elementos de X a menudo ya tienen una cofinalidad incontable, en cuyo caso esta condición es redundante. Algunos autores añaden la condición de que α esté en X , lo que en la práctica suele hacer poca diferencia ya que a menudo se cumple automáticamente.

Para un cardinal incontable regular fijo κ, la operación de Mahlo induce una operación en el álgebra booleana de todos los subconjuntos de κ módulo el ideal no estacionario.

La operación Mahlo se puede repetir infinitamente de la siguiente manera:

• METRO ⁰ ( X ) = X
• M ^α+1 ( X ) = M ( M ^α ( X ))
• Si α es un ordinal límite entonces M ^α ( X ) es la intersección de M ^β ( X ) para β<α

Estas operaciones iteradas de Mahlo producen las clases de cardenales α-Mahlo comenzando con la clase de cardenales fuertemente inaccesibles.

También es posible diagonalizar este proceso definiendo

• M ^Δ ( X ) es el conjunto de ordinales α que están en M ^β ( X ) para β<α.

Y, por supuesto, este proceso de diagonalización también puede repetirse. La operación de Mahlo diagonalizada produce los cardenales hiper-Mahlo, y así sucesivamente.

Cardenales de Mahlo y principios de reflexión.

El axioma F es la afirmación de que toda función normal sobre los ordinales tiene un punto fijo regular. (Este no es un axioma de primer orden, ya que cuantifica todas las funciones normales, por lo que puede considerarse como un axioma de segundo orden o como un esquema de axioma). Un cardinal se llama Mahlo si cada función normal tiene un axioma regular. punto fijo ^{[ cita necesaria ]} , por lo que el axioma F en cierto sentido dice que la clase de todos los ordinales es Mahlo. ^{[ cita necesaria ]} Un cardinal κ es Mahlo si y solo si una forma de segundo orden del axioma F se cumple en V _κ . ^{[ cita necesaria ]} El axioma F es a su vez equivalente a la afirmación de que para cualquier fórmula φ con parámetros hay ordinales α inaccesibles arbitrariamente grandes tales que V _α refleja φ (en otras palabras, φ se cumple en V _α si y solo si se cumple en el todo el universo) (Drake 1974, capítulo 4).

Aparición en la diagonalización de Borel.

Harvey Friedman  (1981) ha demostrado que la existencia de cardinales de Mahlo es una suposición necesaria en cierto sentido para demostrar ciertos teoremas sobre funciones de Borel en productos del intervalo unitario cerrado.

Sea , el producto cartesiano iterado del intervalo unitario cerrado consigo mismo . Se puede considerar que el grupo de todas las permutaciones de ese movimiento sólo un número finito de números naturales actúa permutando coordenadas. La acción grupal también actúa diagonalmente sobre cualquiera de los productos , al definir un abuso de notación . Para , sea si y están en la misma órbita bajo esta acción diagonal. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [0,1]^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (H,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle Q^{n}}$ ${\displaystyle g\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(g\cdot x_{1},\ldots ,g\cdot x_{n})}$ ${\displaystyle x,y\in Q^{n}}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Sea una función de Borel tal que para cualquiera y , si entonces . Entonces hay una secuencia tal que para todas las secuencias de índices , es la primera coordenada de . Este teorema es demostrable en cualquier teoría, pero no en ella . ^[1] ${\displaystyle F:Q\times Q^{n}\to [0,1]}$ ${\displaystyle x\in Q^{n}}$ ${\displaystyle y,z\in Q}$ ${\displaystyle y\sim z}$ ${\displaystyle F(x,y)=F(x,z)}$ ${\displaystyle (x_{k})_{0\leq k\leq m}}$ ${\displaystyle s<t_{1}<\ldots <t_{n}\leq m}$ ${\displaystyle F(x_{s},(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}}))}$ ${\displaystyle x_{s+1}}$ ${\displaystyle ZFC+\forall (n<\omega )\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})}$ ${\displaystyle ZFC+\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})}$ ${\displaystyle n<\omega }$

Ver también

• Cardenal inaccesible
• Conjunto estacionario
• modelo interior

Notas

1. Friedman 1981, pag. 253.

Referencias

• Drake, Frank R. (1974). Teoría de conjuntos: una introducción a los cardenales grandes . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. vol. 76. Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2. Zbl  0294.02034.
• Friedman, Harvey (1981). «Sobre el necesario uso de la teoría abstracta de conjuntos» (PDF) . Avances en Matemáticas . 41 (3): 209–280. doi : 10.1016/0001-8708(81)90021-9 . Consultado el 19 de diciembre de 2022 .
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios . Monografías de Springer en Matemáticas (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-00384-3. Zbl  1022.03033.
• Mahlo, Paul (1911), "Über lineare transfinite Mengen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 63 : 187–225, JFM  42.0090.02
• Mahlo, Paul (1912), "Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 64 : 108–112, JFM  43.0113.01
• Mahlo, Paul (1913), "Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen II", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 65 : 268–282, JFM  44.0092.02