Modelo de condensador y girador

Modelo para circuitos magnéticos

Un transformador simple y su modelo de condensador-girador. R es la reluctancia del circuito magnético físico.

El modelo de condensador-girador ^[1] -a veces también el modelo de permeabilidad del condensador ^[2] - es un modelo de elementos concentrados para circuitos magnéticos , que se puede utilizar en lugar del modelo de resistencia-reluctancia más común . El modelo hace que los elementos de permeancia sean análogos a la capacitancia eléctrica ( ver sección de capacitancia magnética ) en lugar de la resistencia eléctrica ( ver reluctancia magnética ). Los devanados se representan como giradores , que interactúan entre el circuito eléctrico y el modelo magnético.

La principal ventaja del modelo de condensador-girador en comparación con el modelo de reluctancia magnética es que el modelo conserva los valores correctos de flujo de energía, almacenamiento y disipación. ^{[3] [4]} El modelo de condensador-girador es un ejemplo de un grupo de analogías que preservan el flujo de energía a través de dominios de energía al hacer que los pares conjugados de potencia de las variables en los diversos dominios sean análogos. Cumple la misma función que la analogía de impedancia para el dominio mecánico.

Nomenclatura

El circuito magnético puede hacer referencia tanto al circuito magnético físico como al circuito magnético modelo. Los elementos y las variables dinámicas que forman parte del circuito magnético modelo tienen nombres que comienzan con el adjetivo magnético , aunque esta convención no se sigue estrictamente. Los elementos o las variables dinámicas del circuito magnético modelo pueden no tener una correspondencia uno a uno con los componentes del circuito magnético físico. Los símbolos de los elementos y las variables que forman parte del circuito magnético modelo pueden escribirse con un subíndice de M. Por ejemplo, sería un condensador magnético en el circuito modelo. ${\displaystyle C_{M}}$

Los elementos eléctricos de un circuito eléctrico asociado pueden incorporarse al modelo magnético para facilitar el análisis. Los elementos del modelo del circuito magnético que representan elementos eléctricos suelen ser el dual eléctrico de los elementos eléctricos. Esto se debe a que los transductores entre los dominios eléctrico y magnético de este modelo suelen estar representados por giradores. Un girador transformará un elemento en su dual. Por ejemplo, una inductancia magnética puede representar una capacitancia eléctrica.

Resumen de analogía entre circuitos magnéticos y circuitos eléctricos

La siguiente tabla resume la analogía matemática entre la teoría de circuitos eléctricos y la teoría de circuitos magnéticos.

Girador

Definición de girador según la utilizada por Hamill en el documento sobre el enfoque girador-condensador.

Un girador es un elemento de dos puertos que se utiliza en el análisis de redes. El girador es el complemento del transformador ; mientras que en un transformador, un voltaje en un puerto se transformará en un voltaje proporcional en el otro puerto, en un girador, un voltaje en un puerto se transformará en una corriente en el otro puerto, y viceversa.

El papel que desempeñan los giradores en el modelo girador-condensador es el de transductores entre el dominio de la energía eléctrica y el dominio de la energía magnética. Una fem en el dominio eléctrico es análoga a una fmm en el dominio magnético, y un transductor que realice dicha conversión se representaría como un transformador. Sin embargo, los transductores electromagnéticos reales normalmente se comportan como giradores. Un transductor del dominio magnético al dominio eléctrico obedecerá la ley de inducción de Faraday , es decir, una tasa de cambio de flujo magnético (una corriente magnética en esta analogía) produce una fem proporcional en el dominio eléctrico. De manera similar, un transductor del dominio eléctrico al dominio magnético obedecerá la ley circuital de Ampère , es decir, una corriente eléctrica producirá una fmm.

Un devanado de N vueltas se modela mediante un girador con una resistencia de giro de N ohmios. ^{[1] : 100}

Los transductores que no se basan en la inducción magnética no pueden representarse mediante un girador. Por ejemplo, un sensor de efecto Hall se modela mediante un transformador.

Voltaje magnético

El voltaje magnético , , es un nombre alternativo para la fuerza magnetomotriz (fmm), ( unidad del SI : A o amperio-vuelta ), que es análoga al voltaje eléctrico en un circuito eléctrico. ^{[4] : 42  [3] : 5} No todos los autores utilizan el término voltaje magnético . La fuerza magnetomotriz aplicada a un elemento entre el punto A y el punto B es igual a la integral de línea a través del componente de la intensidad del campo magnético, . El modelo de resistencia-reluctancia utiliza la misma equivalencia entre el voltaje magnético y la fuerza magnetomotriz. ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ $${\displaystyle v_{m}={\mathcal {F}}=-\int _{A}^{B}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }$$

Corriente magnética

La corriente magnética , , es un nombre alternativo para la tasa de cambio temporal del flujo , ( unidad SI : Wb /seg o voltios ), que es análoga a la corriente eléctrica en un circuito eléctrico. ^{[2] : 2429  [4] : 37} En el circuito físico, , es la corriente de desplazamiento magnético . ^{[4] : 37} La corriente magnética que fluye a través de un elemento de sección transversal, , es la integral del área de la densidad de flujo magnético . ${\displaystyle i_{m}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle i_{m}={\dot {\Phi }}={\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$$El modelo de resistencia-reluctancia utiliza una equivalencia diferente, tomando la corriente magnética como un nombre alternativo para el flujo, . Esta diferencia en la definición de corriente magnética es la diferencia fundamental entre el modelo de condensador-girador y el modelo de resistencia-reluctancia. La definición de corriente magnética y voltaje magnético implica las definiciones de los otros elementos magnéticos. ^{[4] : 35} ${\displaystyle \Phi }$

Capacitancia magnética

Permeancia de un elemento prismático rectangular

La capacitancia magnética es un nombre alternativo para la permeancia ( unidad del SI : H ). Se representa mediante una capacitancia en el circuito magnético modelo. Algunos autores utilizan para denotar la capacitancia magnética mientras que otros utilizan y se refieren a la capacitancia como permeancia. La permeancia de un elemento es una propiedad extensiva definida como el flujo magnético, , a través de la superficie de la sección transversal del elemento dividido por la fuerza magnetomotriz , , a través del elemento ^{[3] : 6} ${\displaystyle C_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P={\frac {\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }{\int \mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }}={\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}}$$

Para una barra de sección transversal uniforme, la capacitancia magnética viene dada por, donde: $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\frac {S}{l}}}$$

• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}=\mu }$es la permeabilidad magnética ,
• ${\displaystyle S}$es la sección transversal del elemento, y
• ${\displaystyle l}$es la longitud del elemento.

Para el análisis fasorial , la permeabilidad magnética ^[5] y la permeancia son valores complejos. ^{[5] [6]}

La permeabilidad es el recíproco de la renuencia .

Inductancia magnética

Equivalencia de circuito entre una inductancia magnética y una capacitancia eléctrica.

En el contexto del modelo de condensador-girador de un circuito magnético, la inductancia magnética ( unidad SI : F ) es la analogía de la inductancia en un circuito eléctrico. ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$

Para el análisis fasorial la reactancia inductiva magnética es: donde: $${\displaystyle x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }}$$

• ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$es la inductancia magnética
• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular del circuito magnético

En forma compleja es un número imaginario positivo: $${\displaystyle jx_{\mathrm {L} }=j\omega L_{\mathrm {M} }}$$

La energía potencial magnética sostenida por la inductancia magnética varía con la frecuencia de oscilaciones en los campos eléctricos. La potencia media en un período determinado es igual a cero. Debido a su dependencia de la frecuencia, la inductancia magnética se observa principalmente en circuitos magnéticos que operan en frecuencias VHF y/o UHF . ^{[ cita requerida ]}

El concepto de inductancia magnética se emplea en el análisis y cálculo del comportamiento del circuito en el modelo girador-condensador de forma análoga a la inductancia en los circuitos eléctricos.

Un inductor magnético puede representar un capacitor eléctrico. ^{[4] : 43} Una capacitancia en derivación en el circuito eléctrico, como la capacitancia dentro del devanado, se puede representar como una inductancia en serie en el circuito magnético.

Ejemplos

Transformador trifásico

Transformador trifásico con devanados y elementos de permeabilidad.

Esquema que utiliza el modelo de condensador-girador para devanados de transformadores y condensadores para elementos de permeabilidad

Este ejemplo muestra un transformador trifásico modelado mediante el método de condensador-girador. El transformador de este ejemplo tiene tres devanados primarios y tres devanados secundarios. El circuito magnético se divide en siete elementos de reluctancia o permeancia. Cada devanado se modela mediante un girador. La resistencia de giro de cada girador es igual al número de vueltas del devanado asociado. Cada elemento de permeancia se modela mediante un condensador. El valor de cada condensador en faradios es el mismo que la inductancia de la permeancia asociada en henrios .

N ₁ , N ₂ y N ₃ son el número de vueltas en los tres devanados primarios. N ₄ , N ₅ y N ₆ son el número de vueltas en los tres devanados secundarios. Φ ₁ , Φ ₂ y Φ ₃ son los flujos en los tres elementos verticales. El flujo magnético en cada elemento de permeancia en webers es numéricamente igual a la carga en la capacitancia asociada en coulombs . La energía en cada elemento de permeancia es la misma que la energía en el capacitor asociado.

El esquema muestra un generador trifásico y una carga trifásica además del esquema del modelo del transformador.

Transformador con flujo de fuga y de separación

Transformador con flujo de fuga y hueco.

Modelo de condensador-girador de un transformador con flujo de fuga y de entrehierro.

El método del condensador-girador puede tener en cuenta la inductancia de fuga y los entrehierros en el circuito magnético. Los entrehierros y el flujo de fuga tienen una permeancia que se puede añadir al circuito equivalente como condensadores. La permeancia del entrehierro se calcula de la misma forma que los elementos sustantivos, excepto que se utiliza una permeabilidad relativa de la unidad. La permeancia del flujo de fuga puede ser difícil de calcular debido a la geometría compleja. Se puede calcular a partir de otras consideraciones, como mediciones o especificaciones.

C _PL y C _SL representan la inductancia de fuga primaria y secundaria respectivamente. C _GAP representa la permeabilidad del entrehierro.

Impedancia magnética

Impedancia compleja magnética

Equivalencia de circuito entre una impedancia magnética y una admitancia eléctrica.

La impedancia magnética compleja , también llamada resistencia magnética total, es el cociente entre una tensión magnética sinusoidal compleja ( fuerza magnetomotriz , ) en un circuito magnético pasivo y la corriente magnética sinusoidal compleja resultante ( ) en el circuito. La impedancia magnética es análoga a la impedancia eléctrica . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$

La impedancia magnética compleja ( unidad SI : S ) se determina por: donde es el módulo de y es su fase. El argumento de una impedancia magnética compleja es igual a la diferencia de las fases de la tensión magnética y la corriente magnética. La impedancia magnética compleja se puede representar de la siguiente forma: donde es la parte real de la impedancia magnética compleja, llamada resistencia magnética efectiva, y es la parte imaginaria de la impedancia magnética compleja, llamada resistencia magnética reactiva. La impedancia magnética es igual a $${\displaystyle Z_{M}={\frac {\mathcal {F}}{\dot {\Phi }}}=z_{M}e^{j\phi }}$$ ${\displaystyle z_{M}}$ ${\displaystyle Z_{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle Z_{M}=z_{M}e^{j\phi }=z_{M}\cos \phi +jz_{M}\sin \phi =r_{M}+jx_{M}}$$ ${\displaystyle r_{M}=z_{M}\cos \phi }$ ${\displaystyle x_{M}=z_{M}\sin \phi }$ $${\displaystyle z_{M}={\sqrt {r_{M}^{2}+x_{M}^{2}}},}$$ $${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {x_{M}}{r_{M}}}}$$

Resistencia magnética efectiva

La resistencia magnética efectiva es el componente real de la impedancia magnética compleja. Esto hace que un circuito magnético pierda energía potencial magnética. ^{[7] [8]} La potencia activa en un circuito magnético es igual al producto de la resistencia magnética efectiva y la corriente magnética al cuadrado . ${\displaystyle r_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle I_{\mathrm {M} }^{2}}$

$${\displaystyle P=r_{\mathrm {M} }I_{\mathrm {M} }^{2}}$$

La resistencia magnética efectiva en un plano complejo aparece como el lado del triángulo de resistencia para un circuito magnético de corriente alterna. La resistencia magnética efectiva está vinculada con la conductancia magnética efectiva por la expresión donde es la impedancia magnética total de un circuito magnético. ${\displaystyle g_{\mathrm {M} }}$ $${\displaystyle g_{\mathrm {M} }={\frac {r_{\mathrm {M} }}{z_{\mathrm {M} }^{2}}}}$$ ${\displaystyle z_{\mathrm {M} }}$

Reactancia magnética

La reactancia magnética es el parámetro de un circuito magnético pasivo, o de un elemento del circuito, que es igual a la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de la impedancia compleja magnética y de la resistencia magnética efectiva a una corriente magnética, tomada con el signo más, si la corriente magnética va por detrás de la tensión magnética en fase, y con el signo menos, si la corriente magnética va por delante de la tensión magnética en fase.

La reactancia magnética ^{[7] [6] [8]} es el componente de la impedancia compleja magnética del circuito de corriente alterna , que produce el cambio de fase entre una corriente magnética y la tensión magnética en el circuito. Se mide en unidades de y se denota por (o ). Puede ser inductiva o capacitiva , donde es la frecuencia angular de una corriente magnética, es la inductancia magnética de un circuito, es la capacitancia magnética de un circuito. La reactancia magnética de un circuito no desarrollado con la inductancia y la capacitancia que están conectadas en serie, es igual a: . Si , entonces la reactancia neta y la resonancia tienen lugar en el circuito. En el caso general . Cuando no hay pérdida de energía ( ), . El ángulo del cambio de fase en un circuito magnético . En un plano complejo, la reactancia magnética aparece como el lado del triángulo de resistencia para circuito de una corriente alterna. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Omega }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{L}=\omega L_{M}}$ ${\displaystyle x_{C}={\tfrac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{M}}$ ${\displaystyle C_{M}}$ ${\textstyle x=x_{L}-x_{C}=\omega L_{M}-{\frac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle x_{L}=x_{C}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\textstyle x={\sqrt {z^{2}-r^{2}}}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle x=z}$ ${\textstyle \phi =\arctan {\frac {x}{r}}}$

Limitaciones de la analogía

Las limitaciones de esta analogía entre circuitos magnéticos y circuitos eléctricos incluyen lo siguiente:

• La corriente en circuitos eléctricos típicos está confinada en el circuito, con muy poca "fuga". En circuitos magnéticos típicos, no todo el campo magnético está confinado en el circuito magnético porque la permeabilidad magnética también existe fuera de los materiales (ver permeabilidad al vacío ). Por lo tanto, puede haber un " flujo de fuga " significativo en el espacio fuera de los núcleos magnéticos. Si el flujo de fuga es pequeño en comparación con el circuito principal, a menudo se puede representar como elementos adicionales. En casos extremos, un modelo de elementos concentrados puede no ser apropiado en absoluto y se utiliza en su lugar la teoría de campos .
• Los circuitos magnéticos no son lineales ; la permeabilidad en un circuito magnético no es constante, a diferencia de la capacitancia en un circuito eléctrico, sino que varía dependiendo del campo magnético. A flujos magnéticos altos, los materiales ferromagnéticos utilizados para los núcleos de los circuitos magnéticos se saturan , lo que limita un mayor aumento del flujo magnético, por lo que por encima de este nivel la permeabilidad disminuye rápidamente. Además, el flujo en materiales ferromagnéticos está sujeto a histéresis ; depende no solo de la MMF instantánea sino también de la historia de la MMF. Después de que se apaga la fuente del flujo magnético, el magnetismo remanente permanece en los materiales ferromagnéticos, creando un flujo sin MMF.

Referencias

1. Hamill incluye entre paréntesis "(por turno)" en la página 97. ^[1]

1. Hamill, DC (1993). "Circuitos equivalentes agrupados de componentes magnéticos: el enfoque del condensador-girador". IEEE Transactions on Power Electronics . 8 (2): 97–103. Bibcode :1993ITPE....8...97H. doi :10.1109/63.223957.
2. Lambert, M.; Mahseredjian, J.; Martı´nez-Duró, M.; Sirois, F. (2015). "Circuitos magnéticos dentro de circuitos eléctricos: revisión crítica de métodos existentes y nuevas implementaciones de mutadores". IEEE Transactions on Power Delivery . 30 (6): 2427–2434. doi :10.1109/TPWRD.2015.2391231. S2CID  38890643.
3. González, Guadalupe G.; Ehsani, Mehrdad (12 de marzo de 2018). "Modelado de sistemas magnéticos invariantes de potencia". Revista Internacional de Magnetismo y Electromagnetismo . 4 (1): 1–9. doi : 10.35840/2631-5068/6512 . hdl : 1969.1/ETD-TAMU-2011-08-9730 . ISSN  2631-5068.
4. Mohammad, Muneer (22 de abril de 2014). Una investigación sobre la dinámica energética en múltiples dominios (tesis doctoral).
5. Arkadiew W. Eine Theorie des elektromagnetischen Feldes in den ferromagnetischen Metallen . – Físico. Zs., H. 14, n.º 19, 1913, págs. 928-934.
6. Popov, VP (1985). Los principios de la teoría de circuitos (en ruso). M.: Escuela Superior.
7. Pohl, RW (1960). Elektrizitätslehre (en alemán). Berlín-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag.
8. Küpfmüller K. Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.