En matemáticas , en particular en teoría de campos y álgebra real , un campo formalmente real es un campo que puede estar dotado de un ordenamiento (no necesariamente único) que lo convierte en un campo ordenado .
La definición dada anteriormente no es una definición de primer orden , ya que requiere cuantificadores sobre conjuntos . Sin embargo, los siguientes criterios se pueden codificar como (infinitas) oraciones de primer orden en el lenguaje de campos y son equivalentes a la definición anterior.
Un campo formalmente real F es un campo que también satisface una de las siguientes propiedades equivalentes: [1] [2]
Es fácil ver que estas tres propiedades son equivalentes. También es fácil ver que un campo que admite un orden debe satisfacer estas tres propiedades.
Una prueba de que si F satisface estas tres propiedades, entonces F admite un ordenamiento utiliza la noción de conos prepositivos y conos positivos. Supongamos que −1 no es una suma de cuadrados; entonces un argumento del Lema de Zorn muestra que el cono prepositivo de sumas de cuadrados puede extenderse a un cono positivo P ⊆ F . Se utiliza este cono positivo para definir un ordenamiento: a ≤ b si y solo si b − a pertenece a P .
Un cuerpo formalmente real sin extensión algebraica propia formalmente real es un cuerpo real cerrado . [3] Si K es formalmente real y Ω es un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K , entonces existe un subcuerpo real cerrado de Ω que contiene a K. Un cuerpo real cerrado se puede ordenar de manera única, [3] y los elementos no negativos son exactamente los cuadrados.
