Cópula (estadística)

Distribución estadística de dependencia entre variables aleatorias

En teoría de probabilidad y estadística , una cópula es una función de distribución acumulativa multivariante para la cual la distribución de probabilidad marginal de cada variable es uniforme en el intervalo [0, 1]. Las cópulas se utilizan para describir/modelar la dependencia (intercorrelación) entre variables aleatorias . ^[1] Su nombre, introducido por el matemático aplicado Abe Sklar en 1959, proviene del latín para "enlace" o "lazo", similar pero no relacionado con las cópulas gramaticales en lingüística . Las cópulas se han utilizado ampliamente en finanzas cuantitativas para modelar y minimizar el riesgo de cola ^[2] y aplicaciones de optimización de cartera . ^[3]

El teorema de Sklar establece que cualquier distribución conjunta multivariada puede escribirse en términos de funciones de distribución marginal univariadas y una cópula que describe la estructura de dependencia entre las variables.

Las cópulas son populares en aplicaciones estadísticas de alta dimensión, ya que permiten modelar y estimar fácilmente la distribución de vectores aleatorios estimando las marginales y las cópulas por separado. Hay muchas familias de cópulas paramétricas disponibles, que generalmente tienen parámetros que controlan la fuerza de la dependencia. A continuación, se describen algunos modelos de cópulas paramétricas populares.

Las cópulas bidimensionales se conocen en otras áreas de las matemáticas con el nombre de permutones y medidas doblemente estocásticas .

Definición matemática

Considere un vector aleatorio . Suponga que sus marginales son continuas, es decir, las CDF marginales son funciones continuas . Al aplicar la transformación integral de probabilidad a cada componente, el vector aleatorio ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]}$

${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)}$

tiene marginales que se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1].

La cópula de se define como la función de distribución acumulativa conjunta de : ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].}$

La cópula C contiene toda la información sobre la estructura de dependencia entre los componentes de mientras que las funciones de distribución acumulativa marginal contienen toda la información sobre las distribuciones marginales de . ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

El proceso inverso de estos pasos se puede utilizar para generar muestras pseudoaleatorias a partir de clases generales de distribuciones de probabilidad multivariadas . Es decir, dado un procedimiento para generar una muestra a partir de la función cópula, la muestra requerida se puede construir como ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

Las inversas generalizadas no plantean problemas casi con toda seguridad , ya que se supuso que eran continuas. Además, la fórmula anterior para la función cópula se puede reescribir como: ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

Definición

En términos probabilísticos , es una cópula d -dimensional si C es una función de distribución acumulativa conjunta de un vector aleatorio d -dimensional en el cubo unitario con marginales uniformes . ^[4] ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

En términos analíticos , es una cópula d -dimensional si ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$, la cópula es cero si cualquiera de los argumentos es cero,
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$, la cópula es igual a u si un argumento es u y todos los demás 1,
• C es d -no decreciente, es decir, para cada hiperrectángulo el C -volumen de B es no negativo: ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

donde el . ${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

Por ejemplo, en el caso bivariado, es una cópula bivariada si , y para todos y . ${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$ ${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$ ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

Teorema de Sklar

Diagrama de densidad y contorno de una distribución gaussiana bivariada

Gráfica de densidad y contorno de dos marginales normales unidas con una cópula de Gumbel

El teorema de Sklar, llamado así por Abe Sklar , proporciona la base teórica para la aplicación de cópulas. ^{[5] [6]} El teorema de Sklar establece que cada función de distribución acumulativa multivariada

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

de un vector aleatorio se puede expresar en términos de sus marginales y una cópula . En efecto: ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

Si la distribución multivariada tiene una densidad , y si esta densidad está disponible, también se cumple que ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

donde es la densidad de la cópula. ${\displaystyle c}$

El teorema también establece que, dado , la cópula es única en la que es el producto cartesiano de los rangos de las funciones de distribución acumuladas marginales. Esto implica que la cópula es única si las marginales son continuas. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Lo inverso también es cierto: dada una cópula y marginales , entonces se define una función de distribución acumulativa de dimensión d con distribuciones marginales . ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$ ${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$

Condición de estacionariedad

Las cópulas funcionan principalmente cuando las series temporales son estacionarias ^[7] y continuas. ^[8] Por lo tanto, un paso de preprocesamiento muy importante es verificar la autocorrelación , la tendencia y la estacionalidad dentro de las series temporales.

Cuando las series de tiempo están autocorrelacionadas, pueden generar una dependencia inexistente entre conjuntos de variables y dar como resultado una estructura de dependencia de cópula incorrecta. ^[9]

Límites de la cópula de Fréchet-Hoeffding

Gráficos de los límites de la cópula bivariada de Fréchet-Hoeffding y de la cópula de independencia (en el medio).

El teorema de Fréchet-Hoeffding (según Maurice René Fréchet y Wassily Hoeffding ^[10] ) establece que para cualquier cópula y cualquier ecuación se cumplen los siguientes límites: ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

La función W se denomina límite inferior de Fréchet-Hoeffding y se define como

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

La función M se denomina límite superior de Fréchet-Hoeffding y se define como

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

El límite superior es claro: M es siempre una cópula, corresponde a variables aleatorias comonotónicas .

El límite inferior es puntualmente preciso, en el sentido de que para u fijo , existe una cópula tal que . Sin embargo, W es una cópula solo en dos dimensiones, en cuyo caso corresponde a variables aleatorias contramonótonas. ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

En dos dimensiones, es decir, el caso bivariado, el teorema de Fréchet-Hoeffding establece

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

Familias de cópulas

Se han descrito varias familias de cópulas.

Cópula gaussiana

Distribución acumulada y de densidad de la cópula gaussiana con ρ  = 0,4

La cópula gaussiana es una distribución sobre el hipercubo unitario . Se construye a partir de una distribución normal multivariante sobre utilizando la transformada integral de probabilidad . ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Para una matriz de correlación dada , la cópula gaussiana con matriz de parámetros se puede escribir como ${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

donde es la función de distribución acumulativa inversa de una normal estándar y es la función de distribución acumulativa conjunta de una distribución normal multivariante con vector de media cero y matriz de covarianza igual a la matriz de correlación . Si bien no existe una fórmula analítica simple para la función cópula, , puede ser acotada superior o inferiormente y aproximarse mediante integración numérica. ^{[11] [12]} La densidad se puede escribir como ^[13] ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

¿Dónde está la matriz identidad? ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Cópulas arquimedianas

Las cópulas arquimedianas son una clase asociativa de cópulas. La mayoría de las cópulas arquimedianas más comunes admiten una fórmula explícita, algo que no es posible, por ejemplo, para la cópula gaussiana. En la práctica, las cópulas arquimedianas son populares porque permiten modelar la dependencia en dimensiones arbitrariamente altas con un solo parámetro, que rige la fuerza de la dependencia.

Una cópula C se llama arquimediana si admite la representación ^[14]

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{-1}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

donde es una función continua, estrictamente decreciente y convexa tal que , es un parámetro dentro de algún espacio de parámetros , y es la llamada función generadora y es su pseudoinversa definida por ${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi ^{-1}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

Además, la fórmula anterior para C produce una cópula para si y solo si es d-monótona en . ^[15] Es decir, si es 10 veces diferenciable y las derivadas satisfacen ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

para todos y y es no creciente y convexo . ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$ ${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

Cópulas arquimedianas más importantes

Las siguientes tablas destacan las cópulas arquimedianas bivariadas más destacadas, con su generador correspondiente. No todas son completamente monótonas , es decir, d -monótonas para todas o d -monótonas solo para algunas . ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$

Expectativa para modelos de cópula e integración de Monte Carlo

En aplicaciones estadísticas, muchos problemas se pueden formular de la siguiente manera. Uno está interesado en la esperanza de una función de respuesta aplicada a un vector aleatorio . ^[18] Si denotamos la CDF de este vector aleatorio con , la cantidad de interés se puede escribir como ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Si se da mediante un modelo de cópula, es decir, ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

Esta expectativa puede reescribirse como

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

En el caso de que la cópula C sea absolutamente continua , es decir, C tenga una densidad c , esta ecuación se puede escribir como

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

y si cada distribución marginal tiene la densidad se cumple además que ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

Si se conocen la cópula y las marginales (o si se han estimado), esta expectativa se puede aproximar mediante el siguiente algoritmo de Monte Carlo:

1. Extraer una muestra de tamaño n de la cópula C ${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. Aplicando las funciones de distribución acumulativa marginales inversas, se obtiene una muestra de estableciendo ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. Aproximado por su valor empírico: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

Cópulas empíricas

Al estudiar datos multivariados, es posible que deseemos investigar la cópula subyacente. Supongamos que tenemos observaciones

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

de un vector aleatorio con marginales continuas. Las observaciones de cópula “verdaderas” correspondientes serían ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Sin embargo, las funciones de distribución marginales no suelen conocerse, por lo que se pueden construir observaciones pseudocópula utilizando las funciones de distribución empíricas. ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

En cambio, las observaciones de pseudocópula se definen como

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

La cópula empírica correspondiente se define entonces como

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

Los componentes de las muestras de pseudocópula también se pueden escribir como , donde es el rango de la observación : ${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}}$ ${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

Por lo tanto, la cópula empírica puede verse como la distribución empírica de los datos transformados por rango.

La versión de muestra de la rho de Spearman: ^[19]

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

Aplicaciones

Finanzas cuantitativas

Ejemplos de cópulas bivariadas utilizadas en finanzas.

En finanzas cuantitativas, las cópulas se aplican a la gestión de riesgos , a la gestión y optimización de carteras y a la fijación de precios de derivados .

En el caso de los primeros, las cópulas se utilizan para realizar pruebas de estrés y comprobaciones de robustez que son especialmente importantes durante los "regímenes de crisis/pánico/caída" en los que pueden producirse eventos de caída extremos (por ejemplo, la crisis financiera mundial de 2007-2008). La fórmula también se adaptó para los mercados financieros y se utilizó para estimar la distribución de probabilidad de pérdidas en los conjuntos de préstamos o bonos .

Durante un régimen bajista, un gran número de inversores que han mantenido posiciones en activos más riesgosos, como acciones o bienes raíces, pueden buscar refugio en inversiones "más seguras", como efectivo o bonos. Esto también se conoce como efecto de huida hacia la calidad y los inversores tienden a salir de sus posiciones en activos más riesgosos en grandes cantidades en un corto período de tiempo. Como resultado, durante los regímenes bajistas, las correlaciones entre acciones son mayores en el lado bajista que en el lado alcista y esto puede tener efectos desastrosos en la economía. ^{[22] [23]} Por ejemplo, anecdóticamente, a menudo leemos titulares de noticias financieras que informan sobre la pérdida de cientos de millones de dólares en la bolsa de valores en un solo día; sin embargo, rara vez leemos informes de ganancias positivas del mercado de valores de la misma magnitud y en el mismo corto período de tiempo.

Las cópulas ayudan a analizar los efectos de los regímenes bajistas al permitir modelar por separado los marginales y la estructura de dependencia de un modelo de probabilidad multivariable. Por ejemplo, considere la bolsa de valores como un mercado que consta de un gran número de operadores, cada uno de los cuales opera con sus propias estrategias para maximizar las ganancias. El comportamiento individualista de cada operador puede describirse modelando los marginales. Sin embargo, como todos los operadores operan en la misma bolsa, las acciones de cada operador tienen un efecto de interacción con las de otros operadores. Este efecto de interacción puede describirse modelando la estructura de dependencia. Por lo tanto, las cópulas nos permiten analizar los efectos de interacción que son de particular interés durante los regímenes bajistas, ya que los inversores tienden a agrupar su comportamiento y decisiones comerciales . (Véase también economía computacional basada en agentes , donde el precio se trata como un fenómeno emergente , resultante de la interacción de los diversos participantes del mercado, o agentes).

Los usuarios de la fórmula han sido criticados por crear "culturas de evaluación" que continuaron utilizando cópulas simples a pesar de que se reconoció que las versiones simples eran inadecuadas para ese propósito. ^{[24] [25]} Por lo tanto, anteriormente, los modelos de cópula escalables para grandes dimensiones solo permitían el modelado de estructuras de dependencia elípticas (es decir, cópulas gaussianas y t de Student) que no permiten asimetrías de correlación donde las correlaciones difieren en los regímenes al alza o a la baja. Sin embargo, el desarrollo de cópulas de enredadera ^[26] (también conocidas como cópulas de pares) permite el modelado flexible de la estructura de dependencia para carteras de grandes dimensiones. ^[27] La ​​cópula de enredadera canónica de Clayton permite la ocurrencia de eventos de bajada extrema y se ha aplicado con éxito en aplicaciones de optimización de carteras y gestión de riesgos. El modelo puede reducir los efectos de las correlaciones de bajada extrema y produce un rendimiento estadístico y económico mejorado en comparación con las cópulas de dependencia elípticas escalables, como la cópula gaussiana y la t de Student. ^[28]

Otros modelos desarrollados para aplicaciones de gestión de riesgos son las cópulas de pánico, que se combinan con estimaciones de mercado de las distribuciones marginales para analizar los efectos de los regímenes de pánico en la distribución de ganancias y pérdidas de la cartera. Las cópulas de pánico se crean mediante simulación de Monte Carlo , combinadas con una nueva ponderación de la probabilidad de cada escenario. ^[29]

En lo que respecta a la fijación de precios de derivados , el modelado de dependencia con funciones de cópula se utiliza ampliamente en aplicaciones de evaluación de riesgos financieros y análisis actuarial , por ejemplo en la fijación de precios de obligaciones de deuda colateralizadas (CDO). ^[30] Algunos creen que la metodología de aplicación de la cópula gaussiana a los derivados de crédito es una de las razones detrás de la crisis financiera mundial de 2008-2009 ; ^{[31] [32] [33]} véase David X. Li § CDOs and Gaussian copula .

A pesar de esta percepción, existen intentos documentados dentro de la industria financiera, que ocurrieron antes de la crisis, para abordar las limitaciones de la cópula gaussiana y de las funciones de cópula en general, específicamente la falta de dinámica de dependencia. La cópula gaussiana es deficiente ya que solo permite una estructura de dependencia elíptica, ya que la dependencia solo se modela utilizando la matriz de varianza-covarianza. ^[28] Esta metodología es limitada de tal manera que no permite que la dependencia evolucione ya que los mercados financieros exhiben una dependencia asimétrica, por lo que las correlaciones entre activos aumentan significativamente durante las recesiones en comparación con las recesiones. Por lo tanto, los enfoques de modelado que utilizan la cópula gaussiana exhiben una representación deficiente de los eventos extremos . ^{[28] [34]} Ha habido intentos de proponer modelos que rectifiquen algunas de las limitaciones de la cópula. ^{[34] [35] [36]}

Además de los CDO, las cópulas se han aplicado a otras clases de activos como una herramienta flexible para analizar productos derivados de múltiples activos. La primera aplicación de este tipo fuera del crédito fue utilizar una cópula para construir una superficie de volatilidad implícita de la canasta , ^[37] teniendo en cuenta la sonrisa de volatilidad de los componentes de la canasta. Desde entonces, las cópulas han ganado popularidad en la fijación de precios y la gestión de riesgos ^[38] de opciones sobre múltiples activos en presencia de una sonrisa de volatilidad, en derivados de renta variable , de divisas y de renta fija .

Ingeniería civil

Recientemente, las funciones de cópula se han aplicado con éxito a la formulación de bases de datos para el análisis de confiabilidad de puentes de carreteras y a varios estudios de simulación multivariante en ingeniería civil, ^[39] confiabilidad de ingeniería eólica y sísmica, ^[40] e ingeniería mecánica y offshore. ^[41] Los investigadores también están probando estas funciones en el campo del transporte para comprender la interacción entre los comportamientos de los conductores individuales que, en su totalidad, dan forma al flujo de tráfico.

Ingeniería de confiabilidad

Las cópulas se utilizan para el análisis de confiabilidad de sistemas complejos de componentes de máquinas con modos de falla competitivos. ^[42]

Análisis de datos de garantía

Las cópulas se utilizan para el análisis de datos de garantía en los que se analiza la dependencia de la cola. ^[43]

Combustión turbulenta

Las cópulas se utilizan para modelar la combustión turbulenta parcialmente premezclada, que es común en las cámaras de combustión prácticas. ^{[44] [45]}

Medicamento

Las cópulas tienen muchas aplicaciones en el área de la medicina , por ejemplo,

1. Las cópulas se han utilizado en el campo de la resonancia magnética (MRI), por ejemplo, para segmentar imágenes , ^[46] para llenar una vacante de modelos gráficos en la genética de imágenes en un estudio sobre esquizofrenia , ^[47] y para distinguir entre pacientes normales y pacientes con Alzheimer . ^[48]
2. Las cópulas se han utilizado en el área de investigación cerebral basada en señales de EEG , por ejemplo, para detectar somnolencia durante la siesta diurna, ^[49] para rastrear cambios en los anchos de banda equivalentes instantáneos (IEBW), ^[50] para derivar la sincronía para el diagnóstico temprano de la enfermedad de Alzheimer , ^[51] para caracterizar la dependencia en la actividad oscilatoria entre canales de EEG, ^[52] y para evaluar la confiabilidad del uso de métodos para capturar la dependencia entre pares de canales de EEG utilizando sus envolventes variables en el tiempo. ^[53] Las funciones de cópula se han aplicado con éxito al análisis de dependencias neuronales ^[54] y recuentos de picos en neurociencia. ^[55]
3. Se ha desarrollado un modelo de cópula en el campo de la oncología , por ejemplo, para modelar conjuntamente genotipos , fenotipos y vías para reconstruir una red celular para identificar interacciones entre un fenotipo específico y múltiples características moleculares (por ejemplo, mutaciones y cambios en la expresión génica ). Bao et al. ^[56] utilizaron datos de la línea celular de cáncer NCI60 para identificar varios subconjuntos de características moleculares que funcionan conjuntamente como predictores de fenotipos clínicos. La cópula propuesta puede tener un impacto en la investigación biomédica , que abarca desde el tratamiento del cáncer hasta la prevención de enfermedades. La cópula también se ha utilizado para predecir el diagnóstico histológico de lesiones colorrectales a partir de imágenes de colonoscopia , ^[57] y para clasificar subtipos de cáncer. ^[58]
4. Se ha desarrollado un modelo de análisis basado en cópulas en el campo de las enfermedades cardíacas y cardiovasculares, por ejemplo, para predecir la variación de la frecuencia cardíaca (FC). La frecuencia cardíaca (FC) es uno de los indicadores de salud más críticos para controlar la intensidad del ejercicio y el grado de carga porque está estrechamente relacionada con la frecuencia cardíaca. Por lo tanto, una técnica precisa de predicción de la FC a corto plazo puede ofrecer una alerta temprana eficiente para la salud humana y reducir los eventos nocivos. Namazi (2022) ^[59] utilizó un nuevo algoritmo híbrido para predecir la FC.

Geodesia

La combinación de métodos basados ​​en SSA y cópula se ha aplicado por primera vez como una nueva herramienta estocástica para la predicción de parámetros de orientación de la Tierra. ^{[60] [61]}

Investigación hidrológica

Las cópulas se han utilizado tanto en análisis teóricos como aplicados de datos hidroclimáticos. Los estudios teóricos adoptaron la metodología basada en cópulas, por ejemplo, para comprender mejor las estructuras de dependencia de la temperatura y la precipitación en diferentes partes del mundo. ^{[9] [62] [63]} Los estudios aplicados adoptaron la metodología basada en cópulas para examinar, por ejemplo, las sequías agrícolas ^[64] o los efectos conjuntos de los extremos de temperatura y precipitación en el crecimiento de la vegetación. ^[65]

Investigación sobre el clima y el tiempo

Las cópulas se han utilizado ampliamente en investigaciones relacionadas con el clima y el tiempo. ^{[66] [67]}

Variabilidad de la irradiación solar

Se han utilizado cópulas para estimar la variabilidad de la irradiancia solar en redes espaciales y temporalmente para ubicaciones individuales. ^{[68] [69]}

Generación de vectores aleatorios

Se pueden generar grandes rastros sintéticos de vectores y series temporales estacionarias utilizando cópulas empíricas, preservando al mismo tiempo toda la estructura de dependencia de pequeños conjuntos de datos. ^[70] Dichos rastros empíricos son útiles en varios estudios de rendimiento basados ​​en simulación. ^[71]

Clasificación de motores eléctricos

Las cópulas se han utilizado para la clasificación de calidad en la fabricación de motores conmutados electrónicamente. ^[72]

Procesamiento de señales

Las cópulas son importantes porque representan una estructura de dependencia sin utilizar distribuciones marginales . Las cópulas se han utilizado ampliamente en el campo de las finanzas , pero su uso en el procesamiento de señales es relativamente nuevo. Las cópulas se han empleado en el campo de la comunicación inalámbrica para clasificar señales de radar , detección de cambios en aplicaciones de teledetección y procesamiento de señales de EEG en medicina . En esta sección, se presenta una breve derivación matemática para obtener la función de densidad de cópulas seguida de una tabla que proporciona una lista de funciones de densidad de cópulas con las aplicaciones de procesamiento de señales relevantes.

Astronomía

Se han utilizado cópulas para determinar la función de luminosidad de radio del núcleo de los núcleos galácticos activos (AGN), ^[73] si bien esto no se puede lograr utilizando métodos tradicionales debido a las dificultades en la integridad de la muestra.

Derivación matemática de la función de densidad de cópula

Para dos variables aleatorias cualesquiera X e Y , la función de distribución de probabilidad conjunta continua se puede escribir como

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

donde y son las funciones de distribución acumulativa marginal de las variables aleatorias X e Y , respectivamente. ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

Entonces la función de distribución de la cópula se puede definir usando el teorema de Sklar ^{[74] [75]} como: ${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

donde y son funciones de distribución marginal, conjuntas y . ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$ ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

Suponiendo que ae es dos veces diferenciable, comenzamos utilizando la relación entre la función de densidad de probabilidad conjunta (PDF) y la función de distribución acumulada conjunta (CDF) y sus derivadas parciales. ${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

donde es la función de densidad de cópula y son las funciones de densidad de probabilidad marginal de X e Y , respectivamente. Hay cuatro elementos en esta ecuación y, si se conocen tres elementos, se puede calcular el cuarto elemento. Por ejemplo, se puede utilizar, ${\displaystyle c(u,v)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• Cuando se conoce la función de densidad de probabilidad conjunta entre dos variables aleatorias, se conoce la función de densidad de cópula y se conoce una de las dos funciones marginales, entonces se puede calcular la otra función marginal, o
• Cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de cópula, se puede calcular la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, o
• Cuando se conocen las dos funciones marginales y la función de densidad de probabilidad conjunta entre las dos variables aleatorias, se puede calcular la función de densidad de cópula.

Lista de funciones de densidad de cópula y aplicaciones

Varias funciones de densidad de cópulas bivariadas son importantes en el área de procesamiento de señales. y son funciones de distribución marginal y y son funciones de densidad marginal. Se ha demostrado que la extensión y generalización de cópulas para el procesamiento estadístico de señales construye nuevas cópulas bivariadas para distribuciones exponenciales, de Weibull y de Rician. ^[76] Zeng et al. ^[77] presentaron algoritmos, simulación, selección óptima y aplicaciones prácticas de estas cópulas en el procesamiento de señales. ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

Véase también

• Acoplamiento (probabilidad)

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Lectura adicional

• La referencia estándar para una introducción a las cópulas. Abarca todos los aspectos fundamentales, resume las clases de cópulas más populares y proporciona pruebas de los teoremas importantes relacionados con las cópulas.

Roger B. Nelsen (1999), "Introducción a las cópulas", Springer. ISBN 978-0-387-98623-4 

• Un libro que cubre temas actuales en la investigación matemática sobre cópulas:

Piotr Jaworski, Fabrizio Durante, Wolfgang Karl Härdle, Tomasz Rychlik (Editores): (2010): "Teoría de la cópula y sus aplicaciones", notas de conferencias sobre estadística, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8 

• Una referencia para aplicaciones de muestreo y modelos estocásticos relacionados con cópulas es

Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012): Simulación de cópulas (modelos estocásticos, algoritmos de muestreo y aplicaciones). World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9 

• Un artículo que cubre el desarrollo histórico de la teoría de las cópulas, por la persona asociada con la "invención" de las cópulas, Abe Sklar .

Abe Sklar (1997): "Variables aleatorias, funciones de distribución y cópulas: una mirada personal hacia atrás y hacia adelante" en Rüschendorf, L., Schweizer, B. y Taylor, M. (eds) Distribuciones con marginales fijos y temas relacionados (Lecture Notes – Monograph Series Number 28). ISBN 978-0-940600-40-9 

• La referencia estándar para modelos multivariados y teoría de cópulas en el contexto de modelos financieros y de seguros

Alexander J. McNeil, Rudiger Frey y Paul Embrechts (2005) "Gestión cuantitativa del riesgo: conceptos, técnicas y herramientas", Princeton Series in Finance. ISBN 978-0-691-12255-7 

Enlaces externos

• "Cópula", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Copula Wiki: portal comunitario para investigadores interesados ​​en cópulas Archivado el 11 de septiembre de 2016 en Wayback Machine.
• Una colección de códigos de simulación y estimación de Copula
• Cópulas y correlación mediante simulación en Excel
• Capítulo 1 de Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012) "Simulación de cópulas: modelos estocásticos, algoritmos de muestreo y aplicaciones"