El lema de Burnside , a veces también llamado teorema de conteo de Burnside , lema de Cauchy-Frobenius o teorema de conteo de órbitas , es un resultado de la teoría de grupos que suele ser útil para tener en cuenta la simetría al contar objetos matemáticos. Fue descubierto por Augustin Louis Cauchy y Ferdinand Georg Frobenius , y se hizo muy conocido después de que William Burnside lo citara. [1] El resultado enumera las órbitas de un grupo de simetría que actúa sobre algunos objetos: es decir, cuenta objetos distintos, considerando los objetos simétricos entre sí como iguales; o contar objetos distintos hasta una relación de equivalencia de simetría ; o contando sólo objetos en forma canónica . Por ejemplo, al describir posibles compuestos orgánicos de cierto tipo, se los considera hasta la simetría de rotación espacial: diferentes dibujos rotados de una molécula dada son químicamente idénticos. (Sin embargo, un reflejo en un espejo podría dar un compuesto diferente ).
Formalmente, sea G un grupo finito que actúa sobre un conjunto X. Para cada g en G , sea X g el conjunto de elementos en X que están fijados por g ( invariantes a la izquierda por g ): es decir, X g = { x ∈ X | gramo . x = x }. El lema de Burnside afirma la siguiente fórmula para el número de órbitas , denotada | X / G |: [2]
Así , el número de órbitas (un número natural o +∞ ) es igual al número medio de puntos fijados por un elemento de G. Para un grupo infinito G, todavía hay una biyección :
Hay 8 posibles cadenas de bits de longitud 3, pero al unir los extremos de la cadena solo se obtienen cuatro collares distintos de 2 colores de longitud 3, dados por las formas canónicas 000, 001, 011, 111: las otras cadenas 100 y 010 son equivalentes a 001 por rotación, mientras que 110 y 101 equivalen a 011. Es decir, la equivalencia de rotación divide el conjunto X de cuerdas en cuatro órbitas:
La fórmula de Burnside utiliza el número de rotaciones, que es 3 incluida la rotación nula, y el número de cadenas de bits que no cambian con cada rotación. Todos los vectores de 8 bits no cambian con la rotación nula, y dos (000 y 111) no cambian con las otras dos rotaciones. Por tanto el número de órbitas es:
Para una longitud 4, hay 16 cadenas de bits posibles; 4 rotaciones; la rotación nula deja las 16 cadenas sin cambios; las rotaciones de 1 y 3 dejan cada una dos cadenas sin cambios (0000 y 1111); la rotación 2 deja cadenas de 4 bits sin cambios (0000, 0101, 1010, 1111). El número de collares distintos queda así: , representado por las formas canónicas 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, 1111.
El caso general de n bits y k colores viene dado por un polinomio de collar .
El lema de Burnside puede calcular el número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo utilizando tres colores.
Sea X el conjunto de 3 6 posibles combinaciones de colores de caras que se pueden aplicar a un cubo fijo, y dejemos que el grupo de rotación G del cubo actúe sobre X moviendo las caras coloreadas: dos coloraciones en X pertenecen a la misma órbita precisamente cuando uno es una rotación del otro. Los colores rotacionalmente distintos corresponden a órbitas de grupo, y se pueden encontrar contando los tamaños de los conjuntos fijos para los 24 elementos de G , los colores no cambian con cada rotación:
Puede encontrar un examen detallado aquí .
El tamaño medio del conjunto fijo es por tanto:
Hay 57 colores distintos por rotación de las caras de un cubo en tres colores. En general, el número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo en n colores es:
En la prueba del lema de Burnside, el primer paso es reexpresar la suma de los elementos del grupo g ∈ G como una suma equivalente sobre el conjunto de elementos x ∈ X :
Aquí X g = { x ∈ X | gx = x } es el conjunto de puntos de X fijados por g ∈ G , mientras que G x = { g ∈ G | gx = x } es el subgrupo estabilizador de G, simetrías que fijan el punto x ∈ X .)
El teorema del estabilizador de órbita dice que para cada x ∈ X existe una biyección natural entre la órbita G·x = { g·x | g ∈ G } y el conjunto de clases laterales izquierdas G/G x . El teorema de Lagrange implica:
Por lo tanto, la suma puede reescribirse como:
Escribiendo X como la unión disjunta de sus órbitas en X/G :
Juntando todo da el resultado deseado:
Esto es similar a la prueba de la ecuación de clase de conjugación , que considera la acción de conjugación de G sobre sí mismo: X = G y g . x = gxg −1 , de modo que el estabilizador de x es centralizador : G x = Z G ( x ).
El lema de Burnside cuenta objetos distintos, pero no los construye. En general, la generación combinatoria con rechazo de isomorfos considera la de simetrías g , sobre objetos x . Pero en lugar de verificar que gx = x , verifica que gx aún no se haya generado. Una forma de lograr esto es verificando que gx no sea lexicográficamente menor que x , utilizando el miembro lexicográficamente menor de cada clase de equivalencia como la forma canónica de la clase. [3] Contar los objetos generados con dicha técnica puede verificar que el lema de Burnside se aplicó correctamente.
William Burnside declaró y demostró este lema en su libro de 1897 sobre grupos finitos, atribuyéndolo a Frobenius (1887). Pero incluso antes de Frobenius, Cauchy conocía la fórmula en 1845. En consecuencia, a veces se hace referencia a este lema como el lema que no es Burnside's . [4] La denominación errónea de los descubrimientos científicos se conoce como ley de eponimia de Stigler .
![{\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7611c7c25e0db328d546ac28da4945c9bd51e5a1)
