Teorema de Brun

Teorema de que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge

La convergencia a la constante de Brun.

En teoría de números , el teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (pares de números primos que difieren en 2) converge a un valor finito conocido como constante de Brun , usualmente denotado por B ₂ (secuencia A065421 en la OEIS ). El teorema de Brun fue demostrado por Viggo Brun en 1919, y tiene importancia histórica en la introducción de los métodos de criba .

Límites asintóticos en primos gemelos

La convergencia de la suma de los recíprocos de los primos gemelos se sigue de los límites de la densidad de la sucesión de primos gemelos. Sea p el número de primos p ≤ x para los que p + 2 también es primo (es decir, es el número de primos gemelos con el menor como máximo x ). Entonces, tenemos ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

Es decir, los primos gemelos son menos frecuentes que los números primos por casi un factor logarítmico. Este límite da la intuición de que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, o dicho en otras palabras, los primos gemelos forman un conjunto pequeño . En términos explícitos, la suma

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

o bien tiene un número finito de términos o bien tiene un número infinito de términos pero es convergente: su valor se conoce como constante de Brun.

Si fuera el caso de que la suma divergiese, entonces ese hecho implicaría que hay infinitos primos gemelos. Como la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, no es posible concluir de este resultado que hay un número finito o infinito de primos gemelos. La constante de Brun podría ser un número irracional solo si hay infinitos primos gemelos.

Estimaciones numéricas

La serie converge extremadamente lentamente. Thomas Nicely observa que después de sumar los primeros mil millones (10 ⁹ ) de términos, el error relativo sigue siendo superior al 5 %. ^[1]

Al calcular los primos gemelos hasta 10 ¹⁴ (y descubrir el error FDIV del Pentium en el camino), Nicely estimó heurísticamente que la constante de Brun es 1,902160578. ^[1] Nicely ha extendido su cálculo a 1,6 × 10¹⁵ al 18 de enero de 2010, pero este no es el cálculo más grande de su tipo.

En 2002, Pascal Sebah y Patrick Demichel utilizaron todos los primos gemelos hasta 10 ¹⁶ para dar la estimación ^[2] de que B ₂  ≈ 1,902160583104. Por lo tanto,

El último se basa en la extrapolación de la suma 1,830484424658... para los primos gemelos menores que 10 ¹⁶ . Dominic Klyve demostró condicionalmente (en una tesis no publicada) que B ₂  < 2,1754 (asumiendo la hipótesis de Riemann extendida ). Se ha demostrado incondicionalmente que B ₂  < 2,347. ^[3]

También existe una constante de Brun para los cuatrillizos primos . Un cuatrillizo primo es un par de dos pares primos gemelos, separados por una distancia de 4 (la distancia más pequeña posible). Los primeros cuatrillizos primos son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun para los cuatrillizos primos, denotada por B ₄ , es la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos primos:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

con valor:

B ₄  = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, siendo el rango de error con un nivel de confianza del 99% según Nicely. ^[1]

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , como pares de primos de la forma ( p ,  p  + 4), que también se escribe como B ₄ . Wolf derivó una estimación para las sumas de tipo Brun B _n de 4/ n .

Resultados adicionales

Sea (secuencia A005597 en la OEIS ) la constante de primos gemelos . Entonces se conjetura que ${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

En particular,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

para cada uno y todos los x suficientemente grandes . ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Se han demostrado muchos casos especiales de lo anterior. Jie Wu demostró que para x suficientemente grande ,

${\displaystyle \pi _{2}(x)\leq 3.3996\cdot 2C_{2}\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

En la cultura popular

Los dígitos de la constante de Brun se utilizaron en una oferta de 1.902.160.540 dólares en la subasta de patentes de Nortel . La oferta fue publicada por Google y fue una de las tres ofertas de Google basadas en constantes matemáticas . ^[4] Además, la investigación académica sobre la constante resultó en que el error FDIV de Pentium se convirtiera en un notable fiasco de relaciones públicas para Intel . ^{[5] [6]}

Véase también

• Divergencia de la suma de los recíprocos de los primos
• Constante de Meissel-Mertens

Notas

1. Nicely, Thomas R. (18 de enero de 2010). "Enumeración hasta 1,6*10^15 de los primos gemelos y la constante de Brun". Algunos resultados de la investigación computacional en números primos (Teoría de números computacionales) . Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2013. Consultado el 16 de febrero de 2010 .
2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introducción a los primos gemelos y al cálculo de la constante de Brun". CiteSeerX 10.1.1.464.1118 . 
3. Klyve, Dominic. «Límites explícitos de primos gemelos y la constante de Brun» . Consultado el 24 de mayo de 2021 .
4. Damouni, Nadia (1 de julio de 2011). "Dealtalk: Google ofreció "pi" por las patentes de Nortel y perdió". Reuters . Archivado desde el original el 3 de julio de 2011. Consultado el 6 de julio de 2011 .
5. "Preguntas frecuentes sobre la falla FDIV de Pentium". www.trnicely.net . Archivado desde el original el 18 de junio de 2019 . Consultado el 22 de febrero de 2022 .
6. Price, D. (1995). "Defectos del Pentium FDIV: lecciones aprendidas". IEEE Micro . 15 (2): 86–88. doi :10.1109/40.372360.

Referencias

• Brun, Viggo (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Archivo de Mathematik og Naturvidenskab . B34 (8).
• Brun, Viggo (1919). "La serie 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61 +..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie". Bulletin des Sciences Mathématiques (en francés). 43 : 100–104, 124–128.
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 66. Cambridge University Press . págs. 73–74. ISBN 0-521-61275-6.
• Landau, E. (1927). Elementare Zahlentheorie . Leipzig, Alemania: Hirzel.Reimpreso en Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
• LeVeque, William Judson (1996). Fundamentos de la teoría de números . Ciudad de Nueva York: Dover Publishing. págs. 1–288. ISBN 0-486-68906-9.Contiene una prueba más moderna.
• Wu, J. (2004) [24 de septiembre de 2007]. "El doble tamiz de Chen, la conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos". Acta Aritmética . 114 (3): 215–273. arXiv : 0705.1652 . Código Bib : 2004AcAri.114..215W. doi :10.4064/aa114-3-2.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La constante de Brun". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Brun". MundoMatemático .
• Constante de Brun en PlanetMath .
• Sebah, Pascal y Xavier Gourdon, Introducción a los primos gemelos y al cálculo de la constante de Brun, 2002. Un examen detallado moderno.
• Artículo de Wolf sobre las sumas tipo Brun