Brahmagupta ( c. 598 – c. 668 d. C. ) fue un matemático y astrónomo indio . Es autor de dos obras tempranas sobre matemáticas y astronomía : el Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS, " doctrina correctamente establecida de Brahma ", fechado en 628), un tratado teórico, y el Khandakhadyaka ("bocado comestible", fechado en 665), un texto más práctico.
En el año 628 d. C., Brahmagupta describió por primera vez la gravedad como una fuerza atractiva y utilizó el término "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" en sánscrito para describirla. [1] [2] [3] [4] También se le atribuye la primera descripción clara de la fórmula cuadrática (la solución de la ecuación cuadrática) [5] en su obra principal, el Brāhma-sphuṭa-siddhānta . [6]
Brahmagupta, según su propia declaración, nació en el año 598 d. C. Nació en Bhillamāla en Gurjaradesa [7] (la actual Bhinmal en Rajastán , India) durante el reinado del gobernante de la dinastía Chavda Vyagrahamukha. Era hijo de Jishnugupta y era hindú por religión, en particular, un shaivita . [8] Vivió y trabajó allí durante buena parte de su vida. Prithudaka Svamin , un comentarista posterior, lo llamó Bhillamalacharya , el maestro de Bhillamala. [9]
Bhillamala fue la capital de Gurjaradesa , el segundo reino más grande de la India occidental, que comprendía el sur de Rajastán y el norte de Gujarat en la India actual. También fue un centro de aprendizaje de matemáticas y astronomía. Se convirtió en astrónomo de la escuela Brahmapaksha , una de las cuatro escuelas principales de astronomía india durante este período. Estudió los cinco Siddhantas tradicionales sobre astronomía india, así como el trabajo de otros astrónomos, incluidos Aryabhata I , Latadeva, Pradyumna, Varahamihira , Simha, Srisena, Vijayanandin y Vishnuchandra. [9]
En el año 628, a la edad de 30 años, compuso el Brāhmasphuṭasiddhānta ("tratado mejorado de Brahma"), que se cree que es una versión revisada del Siddhanta recibido de la escuela de astronomía Brahmapaksha . Los eruditos afirman que incorporó una gran cantidad de originalidad en su revisión, añadiendo una cantidad considerable de material nuevo. El libro consta de 24 capítulos con 1008 versos en la métrica ārya . Una buena parte es astronomía, pero también contiene capítulos clave sobre matemáticas, incluyendo álgebra, geometría, trigonometría y algorítmica, que se cree que contienen nuevos conocimientos debido al propio Brahmagupta. [9] [10] [11]
Más tarde, Brahmagupta se trasladó a Ujjaini , Avanti , [12] un importante centro astronómico en la India central. A la edad de 67 años, compuso su siguiente obra conocida, Khanda-khādyaka , un manual práctico de astronomía india en la categoría karana destinado a ser utilizado por los estudiantes. [12]
Brahmagupta murió en el año 668 d.C. y se presume que murió en Ujjain.
Brahmagupta compuso los siguientes tratados:
Los avances matemáticos de Brahmagupta fueron continuados por Bhāskara II , un descendiente directo de Ujjain, quien describió a Brahmagupta como el ganaka-chakra-chudamani (la joya del círculo de matemáticos). Prithudaka Svamin escribió comentarios sobre ambas obras, traduciendo versos difíciles a un lenguaje más simple y agregando ilustraciones. Lalla y Bhattotpala en los siglos VIII y IX escribieron comentarios sobre el Khanda-khadyaka . [14] Se siguieron escribiendo más comentarios hasta el siglo XII. [12]
Unas décadas después de la muerte de Brahmagupta, Sindh pasó a estar bajo el califato árabe en el año 712 d. C. Se enviaron expediciones a Gurjaradesa (" Al-Baylaman in Jurz ", según los historiadores árabes). El reino de Bhillamala parece haber sido aniquilado, pero Ujjain rechazó los ataques . La corte del califa Al-Mansur (754-775) recibió una embajada de Sindh, que incluía a un astrólogo llamado Kanaka, que trajo textos astronómicos (posiblemente memorizados), incluidos los de Brahmagupta. Los textos de Brahmagupta fueron traducidos al árabe por Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī , un astrónomo de la corte de Al-Mansur, bajo los nombres de Sindhind y Arakhand . Un resultado inmediato fue la difusión del sistema numérico decimal utilizado en los textos. El matemático Al-Khwarizmi (800-850 d. C.) escribió un texto llamado al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Suma y resta en aritmética india), que fue traducido al latín en el siglo XIII como Algorithmi de numero indorum . A través de estos textos, el sistema de numeración decimal y los algoritmos de Brahmagupta para la aritmética se han difundido por todo el mundo. Al-Khwarizmi también escribió su propia versión de Sindhind , basándose en la versión de Al-Fazari e incorporando elementos ptolemaicos. El material astronómico indio circuló ampliamente durante siglos, llegando incluso a los textos latinos medievales. [15] [16] [17]
El historiador de la ciencia George Sarton llamó a Brahmagupta "uno de los más grandes científicos de su raza y el más grande de su tiempo". [12]
Brahmagupta dio la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphuṭasiddhānta ,
La diferencia entre rupas , cuando se invierte y se divide por la diferencia de los [coeficientes] de las [incógnitas], es la incógnita en la ecuación. Las rupas se [restan en el lado] debajo de aquel del cual se restarán el cuadrado y la incógnita. [18]
que es una solución para la ecuación bx + c = dx + e donde rupas se refiere a las constantes c y e . La solución dada es equivalente a x = mi - c/b - d .
Además dio dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general.
18.44. Disminuir por el número medio la raíz cuadrada de los rupas multiplicada por cuatro veces el cuadrado y aumentada por el cuadrado del número medio; dividir el resto por el doble del cuadrado. [El resultado es] el número medio.
18.45. Cualquiera que sea la raíz cuadrada de los rupas multiplicada por el cuadrado [y] aumentada por el cuadrado de la mitad de la incógnita, disminuirla por la mitad de la incógnita [y] dividir [el resto] por su cuadrado. [El resultado es] la incógnita. [18]
que son, respectivamente, soluciones para la ecuación ax 2 + bx = c equivalentes a,
y
Continuó resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas , afirmando que primero se debe aislar la variable deseada y luego dividir la ecuación por el coeficiente de la variable deseada . En particular, recomendó utilizar "el pulverizador" para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.
18.51. Restar los colores diferentes del primer color. [El resto] dividido por el primer [coeficiente del color] es la medida del primero. [Los términos] de dos en dos [se consideran] [cuando se reducen a] divisores similares, [y así sucesivamente] repetidamente. Si hay muchos [colores], [se debe utilizar el pulverizador]. [18]
Al igual que el álgebra de Diofanto , el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La adición se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, de forma similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaban mediante abreviaturas de los términos apropiados. [19] No se sabe hasta qué punto la influencia griega en esta síncopa , si es que la hubo, y es posible que tanto la síncopa griega como la india puedan derivar de una fuente babilónica común. [19]
Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema actual se basa en el sistema de numeración hindú-arábigo y apareció por primera vez en el Brāhmasphuṭasiddhānta . Brahmagupta describe la multiplicación de la siguiente manera:
El multiplicando se repite como una cuerda para el ganado, tantas veces como partes integrantes haya en el multiplicador y se multiplica repetidamente por ellas y se suman los productos. Es la multiplicación. O bien el multiplicando se repite tantas veces como partes componentes haya en el multiplicador. [20]
La aritmética india era conocida en la Europa medieval como modus Indorum , que significa "método de los indios". En el Brāhmasphuṭasiddhānta , se describen cuatro métodos de multiplicación, incluido el gomūtrikā , que se dice que es cercano a los métodos actuales. [21] En el comienzo del capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado "Cálculo", también detalla operaciones con fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas en lo que respecta a la extracción de la raíz cuadrada, aunque explica cómo encontrar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y luego da reglas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar con cinco tipos de combinaciones de fracciones: a/do + b/do;a/do×b/d;a/1 + b/d;a/do + b/d×a/do = a ( d + b )/cd; ya/do − b/d×a/do = a ( d − b )/cd . [22]
Luego Brahmagupta continúa dando la suma de los cuadrados y cubos de los primeros n números enteros.
12.20. La suma de los cuadrados es la suma multiplicada por el doble del número de pasos, incrementada en uno y dividida por tres. La suma de los cubos es el cuadrado de esa suma. También se pueden calcular montones de estos con bolas idénticas. [23]
Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la suma de los primeros n números enteros, en lugar de en términos de n como es la práctica moderna. [24]
Da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales como n ( n +1)(2n + 1)/6 y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como ( n ( n +1)/2 )2
.
El Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos . [25] El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata al cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente como un dígito sustituto para representar otro número como lo hacían los babilonios o como un símbolo de falta de cantidad como lo hacían Ptolomeo y los romanos . En el capítulo dieciocho de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta describe operaciones con números negativos. Primero describe la suma y la resta,
18.30. [La suma] de dos positivos es positiva, la de dos negativos negativa; la de un positivo y un negativo [la suma] es su diferencia; si son iguales es cero. La suma de un negativo y un cero es negativa, [la] de un positivo y un cero positiva, [y la] de dos ceros cero.
[...]
18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo [menos cero] es positivo; cero [menos cero] es cero. Cuando se debe restar un positivo de un negativo o un negativo de un positivo, entonces se debe sumar. [18]
Continúa describiendo la multiplicación,
18.33. El producto de un negativo por un positivo es negativo, el de dos negativos es positivo y el de dos positivos es positivo; el producto de cero por un negativo, de cero por un positivo o de dos ceros es cero. [18]
Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:
18.34. Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es [también] negativo.
18.35. Un negativo o un positivo dividido por cero tiene ese [cero] como divisor, o cero dividido por un negativo o un positivo [tiene ese negativo o positivo como divisor]. El cuadrado de un negativo o un positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. Aquello de lo cual [el cuadrado] es el cuadrado es [su] raíz cuadrada. [18]
Aquí Brahmagupta afirma que 0/0 = 0 y en cuanto a la cuestión de a/0 donde a ≠ 0 no se comprometió. [26] Sus reglas para la aritmética en números negativos y cero son bastante cercanas a la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero se deja sin definir .
En el capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar ternas pitagóricas :
12.39 La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado por dos es el salto de uno de los dos que hacen el mismo viaje. [27]
O, en otras palabras, si d = mx/x + 2 , entonces un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m , y luego viaja en línea recta a una ciudad a una distancia horizontal mx desde la base de la montaña, viaja la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja a lo largo de la horizontal hasta la ciudad. [27] Enunciado geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y una altura de longitud b = m + d , entonces la longitud, c , de su hipotenusa está dada por c = m (1 + x ) − d . Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que a 2 + b 2 = c 2 siempre que d tenga el valor indicado. Además, si m y x son racionales, también lo son d , a , b y c . Por lo tanto, se puede obtener una terna pitagórica a partir de a , b y c multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores .
Brahmagupta continuó dando una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertas instancias de ecuaciones diofánticas de segundo grado como Nx 2 + 1 = y 2 (llamada ecuación de Pell ) utilizando el algoritmo euclidiano . El algoritmo euclidiano era conocido por él como el "pulverizador" ya que descompone los números en piezas cada vez más pequeñas. [28]
La naturaleza de los cuadrados:
18.64. [Escribir] el doble de la raíz cuadrada de un cuadrado dado por un multiplicador y aumentado o disminuido por un [número] arbitrario. El producto del primer [par], multiplicado por el multiplicador, con el producto del último [par], es el último calculado. 18.65. La suma de los productos de los rayos es la primera. El aditivo es igual al producto de los aditivos. Las dos raíces cuadradas, divididas por el aditivo o el sustractivo, son las rupas
aditivas . [18]
La clave de su solución fue la identidad, [29]
que es una generalización de una identidad que fue descubierta por Diofanto ,
Utilizando su identidad y el hecho de que si ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) son soluciones de las ecuaciones x 2 − Ny 2 = k 1 y x 2 − Ny 2 = k 2 , respectivamente, entonces ( x 1 x 2 + Ny 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) es una solución de x 2 − Ny 2 = k 1 k 2 , fue capaz de encontrar soluciones integrales a la ecuación de Pell a través de una serie de ecuaciones de la forma x 2 − Ny 2 = k i . Brahmagupta no pudo aplicar su solución de manera uniforme para todos los valores posibles de N , sino que solo pudo demostrar que si x 2 − Ny 2 = k tiene una solución entera para k = ±1, ±2 o ±4, entonces x 2 − Ny 2 = 1 tiene una solución. La solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhāskara II en c. 1150 d. C. [ 29]
El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos . Dadas las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y una exacta para el área de la figura.
12.21. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y los lados opuestos de un triángulo y un cuadrilátero. El área exacta es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuidas por [cada] lado del cuadrilátero. [23]
Entonces, dadas las longitudes p , q , r y s de un cuadrilátero cíclico, el área aproximada es p + r/2 · q + s/2 mientras, siendo t = p + q + r + s/2 , el área exacta es
Aunque Brahmagupta no afirma explícitamente que estos cuadriláteros sean cíclicos, es evidente a partir de sus reglas que este es el caso. [30] La fórmula de Heron es un caso especial de esta fórmula y se puede derivar haciendo que uno de los lados sea igual a cero.
Brahmagupta dedicó una parte importante de su trabajo a la geometría. Un teorema proporciona las longitudes de los dos segmentos en que se divide la base de un triángulo por su altura:
12.22 La base disminuye y aumenta por la diferencia entre los cuadrados de los lados divididos por la base; cuando se dividen por dos, son los segmentos verdaderos. La perpendicular [altura] es la raíz cuadrada del cuadrado de un lado disminuido por el cuadrado de su segmento. [23]
Por lo tanto, las longitudes de los dos segmentos son1/2 ( b ± c2 - a2/b ) .
Además, ofrece un teorema sobre triángulos racionales . Un triángulo con lados racionales a , b , c y área racional tiene la forma:
para algunos números racionales u , v y w . [31]
Brahmagupta continúa:
12.23. La raíz cuadrada de la suma de los dos productos de los lados y los lados opuestos de un cuadrilátero no desigual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal se reduce por el cuadrado de la mitad de la suma de la base y la cúspide; la raíz cuadrada es la perpendicular [alturas]. [23]
Entonces, en un cuadrilátero cíclico "no desigual" (es decir, un trapezoide isósceles ), la longitud de cada diagonal es √ pr + qs .
Continúa dando fórmulas para las longitudes y áreas de figuras geométricas, como el radio circunscrito de un trapezoide isósceles y un cuadrilátero escaleno, y las longitudes de las diagonales de un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto conduce al famoso teorema de Brahmagupta ,
12.30–31. Imaginando dos triángulos dentro de [un cuadrilátero cíclico] con lados desiguales, las dos diagonales son las dos bases. Sus dos segmentos son por separado los segmentos superior e inferior [formados] en la intersección de las diagonales. Los dos [segmentos inferiores] de las dos diagonales son dos lados de un triángulo; la base [del cuadrilátero es la base del triángulo]. Su perpendicular es la porción inferior de la perpendicular [central]; la porción superior de la perpendicular [central] es la mitad de la suma de las perpendiculares [de los lados] disminuida por la [porción inferior de la perpendicular central]. [23]
En el versículo 40, da valores de π ,
12.40. El diámetro y el cuadrado del radio multiplicados por 3 son, respectivamente, la circunferencia práctica y el área de un círculo. Los valores exactos son las raíces cuadradas de los cuadrados de esos dos multiplicados por diez. [23]
Entonces, Brahmagupta utiliza 3 como un valor "práctico" de π y como un valor "preciso" de π , con un error menor al 1%.
En algunos de los versos anteriores al 40, Brahmagupta ofrece construcciones de varias figuras con lados arbitrarios. Básicamente, manipuló triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles con tres lados iguales y un cuadrilátero cíclico escaleno.
Después de dar el valor de pi, se ocupa de la geometría de figuras planas y sólidos, como por ejemplo, encontrar volúmenes y áreas de superficie (o espacios vacíos excavados en sólidos). Encuentra el volumen de prismas rectangulares, pirámides y el tronco de una pirámide cuadrada. Además, encuentra la profundidad media de una serie de fosos. Para el volumen de un tronco de pirámide, da el valor "pragmático" como la profundidad multiplicada por el cuadrado de la media de los bordes de las caras superior e inferior, y da el volumen "superficial" como la profundidad multiplicada por su área media. [32]
En el Capítulo 2 de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado Longitudes verdaderas planetarias , Brahmagupta presenta una tabla de senos:
2.2–5. Los senos: Los Progenitores, gemelos; la Osa Mayor, gemelos, los Vedas; los dioses, fuegos, seis; sabores, dados, los dioses; la luna, cinco, el cielo, la luna; la luna, flechas, soles [...] [33]
Aquí Brahmagupta utiliza nombres de objetos para representar los dígitos de los numerales de valor posicional, como era común con los datos numéricos en los tratados sánscritos. Progenitores representa a los 14 Progenitores ("Manu") en la cosmología india o 14, "gemelos" significa 2, "Osa Mayor" representa las siete estrellas de la Osa Mayor o 7, "Vedas" se refiere a los 4 Vedas o 4, dado representa el número de caras del dado tradicional o 6, y así sucesivamente. Esta información se puede traducir a la lista de senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 y 3270, con un radio de 3270 (estos números representan para ). [34]
En 665 Brahmagupta ideó y utilizó un caso especial de la fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segundo orden para interpolar nuevos valores de la función seno a partir de otros valores ya tabulados. [35] La fórmula da una estimación del valor de una función f en un valor a + xh de su argumento (con h > 0 y −1 ≤ x ≤ 1 ) cuando su valor ya se conoce en a − h , a y a + h .
La fórmula para la estimación es:
donde Δ es el operador de diferencia hacia adelante de primer orden , es decir
Brahmagupta en 628 describió por primera vez la gravedad como una fuerza de atracción, usando el término "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" para describirla: [1] [2] [3] [4]
La tierra es la misma por todos sus lados; todos los seres humanos que la habitan se mantienen erguidos y todas las cosas pesadas caen al suelo por una ley de la naturaleza, pues la naturaleza de la tierra es atraer y retener las cosas, como la naturaleza del agua es fluir... Si algo quiere llegar más profundo que la tierra, que lo intente. La tierra es lo único bajo y las semillas siempre vuelven a ella, sin importar en qué dirección las arrojes, y nunca suben desde la tierra. [36] [37] [a]
Brahmagupta dirigió una gran cantidad de críticas hacia el trabajo de astrónomos rivales, y su Brāhmasphuṭasiddhānta muestra uno de los primeros cismas entre los matemáticos indios. La división se refería principalmente a la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que a las matemáticas en sí. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos se derivaban en gran medida de la elección de parámetros y teorías astronómicas. [38] Las críticas a las teorías rivales aparecen a lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos y el undécimo capítulo está dedicado íntegramente a la crítica de estas teorías, aunque no aparecen críticas en los capítulos duodécimo y decimoctavo. [38]
En el capítulo siete de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado Luna creciente , Brahmagupta refuta la idea de que la Luna está más lejos de la Tierra que el Sol. [ aclaración necesaria ] Lo hace explicando la iluminación de la Luna por el Sol . [39]
1. Si la luna estuviera por encima del sol, ¿cómo se podría calcular la longitud de la luna para determinar la potencia de crecimiento y menguante, etc.? La mitad más cercana siempre sería brillante.
2. De la misma manera que la mitad que ve el sol de una olla colocada bajo la luz del sol es brillante, y la mitad que no se ve es oscura, así también es [la iluminación] de la luna [si está] debajo del sol.
3. El brillo aumenta en la dirección del sol. Al final de un mes brillante [es decir, creciente], la mitad cercana es brillante y la mitad lejana oscura. Por lo tanto, la elevación de los cuernos [de la media luna] se puede derivar del cálculo. [...] [40]
Explica que como la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol, el grado de la parte iluminada de la Luna depende de las posiciones relativas del Sol y la Luna, y esto se puede calcular a partir del tamaño del ángulo entre los dos cuerpos. [39]
Otros trabajos que exploran las longitudes de los planetas, la rotación diurna, los eclipses lunares y solares, las salidas y puestas, la luna creciente y las conjunciones de los planetas se analizan en su tratado Khandakhadyaka .
Brahma-siddhānta
, así llamado de Brahman, compuesto por Brahmagupta, el hijo de Jishnu, de la ciudad de Bhillamāla entre Multān y Anhilwāra, 16
yojana
desde este último lugar (?)
