Teorema de Borsuk-Ulam

Teorema en topología

Antípoda

En matemáticas , el teorema de Borsuk-Ulam establece que toda función continua de una n -esfera en un n -espacio euclidiano asigna un par de puntos antípodas al mismo punto. Aquí, dos puntos de una esfera se denominan antípodas si están en direcciones exactamente opuestas desde el centro de la esfera.

Formalmente: si es continua entonces existe una tal que: . ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

El caso puede ilustrarse diciendo que siempre existe un par de puntos opuestos en el ecuador de la Tierra con la misma temperatura. Lo mismo es cierto para cualquier círculo. Esto supone que la temperatura varía continuamente en el espacio, lo que, sin embargo, no siempre es así. ^[1] ${\displaystyle n=1}$

El caso se ilustra a menudo diciendo que, en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antípodas en la superficie de la Tierra con temperaturas iguales y presiones barométricas iguales, asumiendo que ambos parámetros varían continuamente en el espacio. ${\displaystyle n=2}$

El teorema de Borsuk-Ulam tiene varias afirmaciones equivalentes en términos de funciones impares . Recordemos que es la n -esfera y es la n -bola : ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

• Si es una función impar continua, entonces existe una tal que: . ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=0}$
• Si es una función continua que es impar en (el límite de ), entonces existe una tal que: . ${\displaystyle g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle B^{n}}$ ${\displaystyle x\in B^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=0}$

Historia

Según Matoušek (2003, p. 25), la primera mención histórica del enunciado del teorema de Borsuk-Ulam aparece en Lyusternik & Shnirel'man (1930). La primera demostración la dio Karol Borsuk  (1933), donde la formulación del problema se atribuyó a Stanisław Ulam . Desde entonces, varios autores han encontrado muchas demostraciones alternativas, como las recopiladas por Steinlein (1985).

Declaraciones equivalentes

Las siguientes afirmaciones son equivalentes al teorema de Borsuk-Ulam. ^[2]

Con funciones impares

Una función se llama impar (también conocida como antípoda o preservadora de antípodas ) si para cada : . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(-x)=-g(x)}$

El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente al siguiente enunciado: Una función impar continua de una n -esfera en un n -espacio euclidiano tiene un cero. DEMOSTRACIÓN:

• Si el teorema es correcto, entonces es específicamente correcto para funciones impares, y para una función impar, si y solo si . Por lo tanto, toda función continua impar tiene un cero. ${\displaystyle g(-x)=g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=0}$
• Para cada función continua , la siguiente función es continua e impar: . Si toda función continua impar tiene un cero, entonces tiene un cero y, por lo tanto, . Por lo tanto, el teorema es correcto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

Con retractaciones

Definir una retracción como una función El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: no existe retracción impar continua. ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.}$

Demostración: Si el teorema es correcto, entonces toda función impar continua de debe incluir 0 en su rango. Sin embargo, entonces no puede haber una función impar continua cuyo rango sea . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle 0\notin S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Por el contrario, si es incorrecta, entonces existe una función impar continua sin ceros. Entonces podemos construir otra función impar mediante: ${\displaystyle g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$ ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}$

Como no tiene ceros, está bien definida y es continua. Por lo tanto, tenemos una retracción impar continua. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Pruebas

Caso unidimensional

El caso unidimensional se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema del valor intermedio (IVT).

Sea la función continua de valor real impar en un círculo definido por . Elija un . Si entonces hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad, Pero Por lo tanto, por la TVI, hay un punto entre y en el que . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle g(x)>0.}$ ${\displaystyle g(-x)<0.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle g(y)=0}$

Caso general

Demostración topológica algebraica

Supongamos que es una función continua impar con (el caso se trata anteriormente, el caso se puede manejar utilizando la teoría de recubrimiento básica ). Al pasar a órbitas bajo la acción antípoda, obtenemos una función continua inducida entre espacios proyectivos reales , que induce un isomorfismo en grupos fundamentales . Por el teorema de Hurewicz , el homomorfismo de anillo inducido en cohomología con coeficientes [donde denota el campo con dos elementos ], ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}$

envía a . Pero entonces obtenemos que se envía a , una contradicción. ^[3] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b^{n}=0}$ ${\displaystyle a^{n}\neq 0}$

También se puede demostrar la afirmación más fuerte de que cualquier mapa impar tiene grado impar y luego deducir el teorema de este resultado. ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$

Prueba combinatoria

El teorema de Borsuk-Ulam se puede demostrar a partir del lema de Tucker . ^{[2] [4] [5]}

Sea una función impar continua. Como g es continua en un dominio compacto , es uniformemente continua . Por lo tanto, para cada , existe una función tal que, para cada dos puntos de los cuales están dentro uno del otro, sus imágenes bajo g están dentro del otro. ${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$

Defina una triangulación de con aristas de longitud máxima . Etiquete cada vértice de la triangulación con una etiqueta de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}}$

• El valor absoluto de la etiqueta es el índice de la coordenada con el valor absoluto más alto de g : . ${\displaystyle |l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)}$
• El signo de la etiqueta es el signo de g , de modo que: . ${\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|}$

Como g es impar, el etiquetado también es impar: . Por lo tanto, por el lema de Tucker, hay dos vértices adyacentes con etiquetas opuestas. Supongamos que wlog las etiquetas son . Por la definición de l , esto significa que tanto en como , la coordenada n.º 1 es la coordenada más grande: en esta coordenada es positiva mientras que en es negativa. Por la construcción de la triangulación, la distancia entre y es como máximo , por lo que en particular (ya que y tienen signos opuestos) y por lo tanto . Pero como la coordenada más grande de es la coordenada n.º 1, esto significa que para cada . Entonces , donde es una constante que depende de y la norma que haya elegido. ${\displaystyle l(-v)=-l(v)}$ ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle l(u)=1,l(v)=-1}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle g(v)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle g(u)_{1}}$ ${\displaystyle g(v)_{1}}$ ${\displaystyle |g(u)_{1}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle g(u)}$ ${\displaystyle |g(u)_{k}|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle |g(u)|\leq c_{n}\epsilon }$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

Lo anterior es cierto para cada ; dado que es compacto, debe haber un punto u en el que . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle |g(u)|=0}$

Corolarios

• Ningún subconjunto de es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$
• El teorema del sándwich de jamón : Para cualesquiera conjuntos compactos A ₁ , ..., A _n en siempre podemos encontrar un hiperplano que divida a cada uno de ellos en dos subconjuntos de igual medida. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Resultados equivalentes

Arriba mostramos cómo demostrar el teorema de Borsuk-Ulam a partir del lema de Tucker. La inversa también es cierta: es posible demostrar el lema de Tucker a partir del teorema de Borsuk-Ulam. Por lo tanto, estos dos teoremas son equivalentes. Hay varios teoremas de punto fijo que vienen en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica , una variante combinatoria y una variante de recubrimiento de conjuntos. Cada variante puede demostrarse por separado utilizando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también puede reducirse a las otras variantes en su fila. Además, cada resultado en la fila superior puede deducirse del que está debajo en la misma columna. ^[6]

Generalizaciones

• En el teorema original, el dominio de la función f es la esfera unitaria n (el límite de la esfera unitaria n ). En general, esto también es cierto cuando el dominio de f es el límite de cualquier subconjunto abierto y acotado simétrico de que contenga el origen (aquí, simétrico significa que si x está en el subconjunto, entonces -x también está en el subconjunto). ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• De manera más general, si es una variedad riemanniana compacta de n dimensiones , y es continua, existe un par de puntos x e y en tales que y x e y están unidos por una geodésica de longitud , para cualquier . ^{[8] [9]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta >0}$
• Consideremos la función A que asigna un punto a su punto antípoda: Nótese que El teorema original afirma que hay un punto x en el que En general, esto es cierto también para cada función A para la cual ^[10] Sin embargo, en general esto no es cierto para otras funciones A . ^[11] ${\displaystyle A(x)=-x.}$ ${\displaystyle A(A(x))=x.}$ ${\displaystyle f(A(x))=f(x).}$ ${\displaystyle A(A(x))=x.}$

Véase también

• Combinatoria topológica
• Problema de rotura del collar
• Teorema del sándwich de jamón
• Teorema de Kakutani (geometría)
• Imre Bárány

Notas

1. Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (30 de julio de 2023). "Sobre la falacia del continuo: ¿es la temperatura una función continua?". Fundamentos de la física . 53 (4): 69. doi : 10.1007/s10701-023-00713-x . ISSN  1572-9516.
2. Prescott, Timothy (2002). Extensiones del teorema de Borsuk-Ulam (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120 . 
3. Joseph J. Rotman, Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Consulte el Capítulo 12 para una exposición completa). 
4. Freund, Robert M.; Todd, Michael J. (1982). "Una prueba constructiva del lema combinatorio de Tucker". Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 30 (3): 321–325. doi : 10.1016/0097-3165(81)90027-3 .
5. Simmons, Forest W.; Su, Francis Edward (2003). "Reducción a la mitad del consenso mediante los teoremas de Borsuk-Ulam y Tucker". Ciencias Sociales Matemáticas . 45 : 15–25. doi :10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl : 10419/94656 .
6. Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "Un equivalente de Borsuk-Ulam que implica directamente el lema de Sperner", The American Mathematical Monthly , 120 (4): 346–354, doi :10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR  3035127
7. "Teorema del punto fijo de Borsuk", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
8. Hopf, H. (1944). "Eine Verallgemeinerung bekannter Abbildungs-und Überdeckungssätze". Portugaliae Mathematica .
9. Malyutin, AV; Shirokov, IM (2023). "Teoremas de tipo Hopf para f-vecinos". Hermano. Èlektron. Estera. Izv . 20 (1): 165–182.
10. Yang, Chung-Tao (1954). "Sobre los teoremas de Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo y Dyson, I". Anales de Matemáticas . 60 (2): 262–282. doi :10.2307/1969632. JSTOR  1969632.
11. Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalización de Borsuk-Ulam". Math Overflow . Consultado el 18 de mayo de 2015 .

Referencias

• Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 20 : 177-190. doi : 10.4064/fm-20-1-177-190 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Lyusternik, Lazar ; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos topológicos en problemas variacionales". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U. Moscú.
• Matoušek, Jiří (2003). Usando el teorema de Borsuk-Ulam . Berlín: Springer Verlag. doi :10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
• Steinlein, H. (1985). "El teorema de las antípodas de Borsuk y sus generalizaciones y aplicaciones: un estudio. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Matemáticas. Súper. Montreal, Sém. Ciencia. OTAN (Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN) . 95 : 166–235.
• Su, Francis Edward (noviembre de 1997). "Borsuk-Ulam implica Brouwer: una construcción directa" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 104 (9): 855–859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . doi :10.2307/2975293. JSTOR  2975293. Archivado desde el original (PDF) el 13 de octubre de 2008 . Consultado el 21 de abril de 2006 .

Enlaces externos

• ¿A quién más le importa la topología? Collares robados y Borsuk-Ulam en YouTube
• El explorador de Borsuk-Ulam. Ilustración interactiva del teorema de Borsuk-Ulam.