mónada giry

Una estructura abstracta que modela espacios de medidas de probabilidad, definida por primera vez en los años 80.

En matemáticas , la mónada de Giry es una construcción que asigna a un espacio mensurable un espacio de medidas de probabilidad sobre él, dotado de una sigma-álgebra canónica . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Es uno de los principales ejemplos de mónada de probabilidad.

Se utiliza implícitamente en la teoría de la probabilidad siempre que se consideran medidas de probabilidad que dependen mensurablemente de un parámetro (dando lugar a los núcleos de Markov ), o cuando se tienen medidas de probabilidad sobre medidas de probabilidad (como en el teorema de De Finetti ).

Como muchas construcciones iterables, tiene la estructura teórica de categorías de una mónada , en la categoría de espacios mensurables .

Construcción

La mónada Giry, como toda mónada , consta de tres estructuras: ^{[6] [7] [8]}

• Una asignación funtorial , que en este caso asigna a un espacio medible un espacio de medidas de probabilidad sobre él; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle PX}$
• Una aplicación natural llamada unidad , que en este caso asigna a cada elemento de un espacio la medida de Dirac sobre él; ${\displaystyle \delta :X\to PX}$
• Un mapa natural llamado la multiplicación , que en este caso asigna a cada medida de probabilidad sobre medidas de probabilidad su valor esperado . ${\displaystyle {\mathcal {E}}:PPX\to PX}$

El espacio de las medidas de probabilidad.

Sea un espacio mensurable . Denotemos por el conjunto de medidas de probabilidad sobre . Equipamos el conjunto con un sigma-álgebra de la siguiente manera. En primer lugar, para cada conjunto medible , defina el mapa por . Luego definimos el álgebra sigma como el álgebra sigma más pequeña que hace que los mapas sean medibles, para todos (donde se supone equipado con el álgebra sigma de Borel ). ^[6] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:PX\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\longmapsto p(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

De manera equivalente, se puede definir como la sigma-álgebra más pequeña sobre la que se hacen los mapas. ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle PX}$

${\displaystyle p\longmapsto \int _{X}f\,dp}$

mensurable para todos los mensurables acotados . ^[9] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

La asignación es parte de un endofunctor en la categoría de espacios mensurables , normalmente denotado nuevamente por . Su acción sobre los morfismos , es decir, sobre los mapas mensurables , se realiza mediante el avance de medidas . Es decir, dado un mapa medible , se asigna al mapa definido por ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\mapsto (PX,{\mathcal {PF}})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}:(PX,{\mathcal {PF}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$

${\displaystyle f_{*}p\,(B)=p(f^{-1}(B))}$

para todos y cada uno de los conjuntos medibles . ^[6] ${\displaystyle p\in PX}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

El mapa del delta del Dirac

Dado un espacio medible , el mapa asigna un elemento a la medida de Dirac , definida en subconjuntos mensurables por ^[6] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \delta :(X,{\mathcal {F}})\to (PX,{\mathcal {PF}})}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in PX}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A,\\0&{\text{if }}x\notin A.\end{cases}}}$

El mapa de expectativas

Sea , es decir, una medida de probabilidad sobre las medidas de probabilidad sobre . Definimos la medida de probabilidad por ${\displaystyle \mu \in PPX}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\mu \in PX}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\mu (A)=\int _{PX}p(A)\,\mu (dp)}$

para todo mensurable . Esto proporciona un mapa natural y mensurable . ^[6] ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}:(PPX,{\mathcal {PPF}})\to (PX,{\mathcal {PF}})}$

Ejemplo: distribuciones de mezclas

Una distribución mixta , o más generalmente una distribución compuesta , puede verse como una aplicación del mapa . Veamos esto para el caso de una mezcla finita. Sean las medidas de probabilidad de y considere la medida de probabilidad dada por la mezcla ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(A)=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,p_{i}(A)}$

para todos medibles , para algunos pesos satisfactorios . Podemos ver la mezcla como el promedio , donde la medida sobre medidas , que en este caso es discreta, viene dada por ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle w_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle w_{1}+\dots +w_{n}=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q={\mathcal {E}}\mu }$ ${\displaystyle \mu \in PPX}$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\delta _{p_{i}}.}$

De manera más general, el mapa puede verse como la forma más general y no paramétrica de formar mezclas arbitrarias o distribuciones compuestas . ${\displaystyle {\mathcal {E}}:PPX\to PX}$

La tripleta se llama mónada Giry . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle (P,\delta ,{\mathcal {E}})}$

Relación con los núcleos de Markov

Una de las propiedades del álgebra sigma es que dados espacios medibles y , tenemos una correspondencia biyectiva entre funciones medibles y núcleos de Markov . Esto permite ver un núcleo de Markov, de manera equivalente, como una medida de probabilidad mensurable parametrizada. ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

Con más detalle, dada una función medible , se puede obtener el núcleo de Markov de la siguiente manera, ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle f^{\flat }:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

${\displaystyle f^{\flat }(B|x)=f(x)(B)}$

para todos y cada uno de los mensurables (tenga en cuenta que es una medida de probabilidad). Por el contrario, dado un núcleo de Markov , se puede formar la función medible que se asigna a la medida de probabilidad definida por ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f(x)\in PY}$ ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle k^{\sharp }:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k^{\sharp }(x)\in PY}$

${\displaystyle k^{\sharp }(x)(B)=k(B|x)}$

para cada mensurable . Las dos asignaciones son mutuamente inversas. ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , podemos interpretar esta correspondencia como un complemento

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)}$

entre la categoría de espacios medibles y la categoría de núcleos de Markov . En particular, la categoría de núcleos de Markov puede verse como la categoría Kleisli de la mónada Giry. ^{[3] [4] [5]}

Distribuciones de productos

Dados espacios medibles y , se puede formar el espacio medible con el producto sigma-álgebra , que es el producto en la categoría de espacios medibles . Dadas las medidas de probabilidad y , se puede formar la medida del producto en . Esto proporciona un mapa natural y mensurable. ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle (PX,{\mathcal {PX}})\times (PY,{\mathcal {PY}})=(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle p\in PX}$ ${\displaystyle q\in PY}$ ${\displaystyle p\otimes q}$ ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$

${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})\times (PY,{\mathcal {PG}})\to {\big (}P(X\times Y),{\mathcal {P(F\times G)}}{\big )}}$

generalmente denotado por o por . ^[4] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$

En general , el mapa no es un isomorfismo, ya que hay medidas de probabilidad en las que no hay distribuciones de productos, por ejemplo en el caso de correlación . Sin embargo, los mapas y el isomorfismo hacen de la mónada Giry una mónada monoidal y, por tanto, en particular una mónada conmutativa fuerte . ^[4] ${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$ ${\displaystyle 1\cong P1}$

Otras propiedades

• Si un espacio mensurable es Borel estándar , también lo es . Por lo tanto, la mónada Giry se restringe a la subcategoría completa de espacios Borel estándar. ^{[1] [4]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})}$

• Las álgebras para la mónada de Giry incluyen subconjuntos convexos compactos de espacios euclidianos , así como la línea real positiva extendida , con el mapa de estructura del álgebra dado tomando valores esperados . ^[11] Por ejemplo, para , el mapa de estructura viene dado por ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle e:P[0,\infty ]\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle p\longmapsto \int _{[0,\infty )}x\,p(dx)}$

siempre que esté respaldado y tenga un valor esperado finito, y de lo contrario. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle e(p)=\infty }$

Ver también

• Distribución de la mezcla
• Distribución compuesta
• teorema de finetti
• Espacio mensurable
• Núcleo de Markov
• Mónada (teoría de categorías)
• Mónada (programación funcional)
• Categoría de espacios medibles
• Categoría de núcleos de Markov
• Probabilidad categórica

Citas

1. Giry (1982)
2. Avery (2016), págs. 1231-1234
3. Jacobs (2018), págs. 205-106
4. Fritz (2020), págs. 19-23
5. Moss y Perrone (2022), págs.
6. Giry (1982), pág. 69
7. Riehl (2016)
8. Perrone (2024)
9. Perrone (2024), pág. 238
10. Giry (1982), pág. 71
11. Doberkat (2006), págs. 1772-1776

Referencias

• Giry, Michèle (1982). "Un enfoque categórico de la teoría de la probabilidad". Aspectos categóricos de topología y análisis . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 915. Saltador. págs. 68–85. doi :10.1007/BFb0092872. ISBN 978-3-540-11211-2.

• Doberkat, Ernst-Erich (2006). "Álgebras de Eilenberg-Moore para relaciones estocásticas". Información y Computación . 204 (12): 1756-1781. doi :10.1016/j.ic.2006.09.001.

• Avery, Tom (2016). "Codensidad y la mónada Giry". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 220 (3): 1229-1251. arXiv : 1410.4432 . doi :10.1016/j.jpaa.2015.08.017. S2CID  119695729.

• Jacobs, Bart (2018). "De las mónadas de probabilidad a los efectos conmutativos". Revista de métodos lógicos y algebraicos en programación . 94 : 200–237. doi :10.1016/j.jlamp.2016.11.006.

• Fritz, Tobías (2020). "Un enfoque sintético de los núcleos de Markov, independencia condicional y teoremas sobre estadística suficiente". Avances en Matemáticas . 370 . arXiv : 1908.07021 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107239. S2CID  201103837.

• musgo, Sean; Perrone, Paolo (2022). "Mónadas de probabilidad con submónadas de estados deterministas". LICS '22: Actas del 37º Simposio anual ACM/IEEE sobre lógica en informática . arXiv : 2204.07003 . doi :10.1145/3531130.3533355.

• Riehl, Emily (2016). "Capítulo 5. Mónadas y sus álgebras". Teoría de categorías en contexto. Dover. ISBN 978-0486809038.

• Perrone, Paolo (2024). "Capítulo 5. Mónadas y Comonadas". Teoría de categorías iniciales . Científico mundial. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.

Otras lecturas

• Mónadas de probabilidad, medidas y valoraciones, en nLab .
• https://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

enlaces externos

• ¿Qué es una mónada de probabilidad?, vídeo tutorial.