Borrador: Análisis a escala del flujo rotacional viscoso

• Comentario: Hola. ¿Esto se está presentando como parte de un curso universitario? Curb Safe Charmer ( discusión ) 13:28 8 oct 2024 (UTC)

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El análisis de escala es un método clave en la dinámica de fluidos que simplifica las ecuaciones que rigen el movimiento al identificar los efectos físicos dominantes en un flujo determinado. Para los flujos rotacionales viscosos, el análisis se centra en el equilibrio entre la viscosidad , la rotación y la inercia , lo que conduce a parámetros adimensionales importantes como el número de Reynolds , el número de Rossby y el número de Ekman . Estos números adimensionales revelan cómo interactúan diferentes fuerzas (como la inercial , la viscosa, la de Coriolis y la centrífuga ) en los sistemas de fluidos rotatorios, como las corrientes oceánicas , las circulaciones atmosféricas y la maquinaria rotatoria.

Ecuaciones que rigen el flujo rotacional viscoso

Las ecuaciones que rigen el flujo rotacional viscoso se derivan de las ecuaciones de Navier-Stokes y de la ecuación de continuidad , adaptadas para tener en cuenta la rotación. Estas ecuaciones describen el movimiento del fluido bajo la influencia de fuerzas como gradientes de presión, viscosidad y efectos de Coriolis.

Ecuación de continuidad (Conservación de la masa)

Para un fluido incompresible, donde la densidad ρ es constante, la ecuación de continuidad es:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$

• Aquí, , , y son los componentes de velocidad en las direcciones , , y , respectivamente. Esta ecuación garantiza la conservación de la masa dentro del flujo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Ecuación de Navier-Stokes (conservación del momento)

La ecuación de Navier-Stokes para un fluido incompresible en un marco de referencia giratorio, con velocidad angular Ω, viene dada por:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -2\rho \mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} -\rho \mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )}$

• Dónde:
  • u =( , , ) es el vector de velocidad, ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$
  • ρ es la densidad del fluido,
  • ${\displaystyle p}$es la presión,
  • μ es la viscosidad dinámica,
  • ${\displaystyle \Omega }$es el vector de velocidad angular,
  • r es el vector de posición.

Los términos representan la fuerza del gradiente de presión , la fuerza viscosa , la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga . ${\displaystyle -\nabla p}$ ${\displaystyle \mu \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -2\rho \mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle -\rho \mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )}$

Ecuación de vorticidad

La ecuación de vorticidad , que describe la evolución de la vorticidad ω=∇×u, es particularmente útil en flujos rotacionales:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\omega } }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } =\mathbf {\omega } \cdot \nabla \mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {\omega } -2\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {u} }$

Esta ecuación resalta cómo la vorticidad se ve afectada por el estiramiento de la vorticidad, la disipación viscosa y las fuerzas de Coriolis.

Parámetros adimensionales en el análisis de escala

La no dimensionalización de las ecuaciones gobernantes revela varios parámetros adimensionales que son críticos para comprender el equilibrio de fuerzas en flujos rotacionales viscosos.

Número de Reynolds (Re)

El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas:

${\displaystyle Re={\frac {UL}{\nu }}}$

• Dónde:
  • ${\displaystyle U}$es la velocidad característica,
  • ${\displaystyle L}$es la longitud característica,
  • ${\displaystyle v={\frac {\mu }{\rho }}}$​ es la viscosidad cinemática.

Implicaciones :

• Alto indica que las fuerzas inerciales dominan (lo que genera turbulencia). ${\displaystyle Re}$
• Low sugiere que las fuerzas viscosas dominan (lo que resulta en un flujo laminar). ${\displaystyle Re}$

Número de Rossby (Ro)

El número de Rossby mide la importancia de las fuerzas rotacionales (Coriolis) en comparación con las fuerzas inerciales:

${\displaystyle Ro={\frac {U}{2\Omega L}}}$

• ¿Dónde está la velocidad angular del sistema giratorio? ${\displaystyle \Omega }$

Implicaciones :

• Los valores pequeños indican que las fuerzas de Coriolis son dominantes, típicas en flujos geofísicos a gran escala. ${\displaystyle Ro}$

Número de Ekman (Ek)

El número de Ekman representa la relación entre las fuerzas viscosas y las fuerzas de Coriolis:

${\displaystyle Ek={\frac {\nu }{\Omega L^{2}}}}$

Implicaciones :

• Una pequeña indica que los efectos rotacionales dominan sobre las fuerzas viscosas, lo que lleva a la formación de capas límite delgadas, conocidas como capas de Ekman. ${\displaystyle Ek}$

Número de Taylor (Ta)

El número de Taylor se aplica a los flujos entre cilindros rotatorios, comparando las fuerzas centrífugas con las fuerzas viscosas:

${\displaystyle Ta={\frac {4\Omega ^{2}L^{4}}{\nu ^{2}}}}$

Implicaciones :

• Los números altos indican la aparición de inestabilidades centrífugas y la formación de vórtices de Taylor. ${\displaystyle Ta}$
• Los números bajos implican un flujo laminar estable. ${\displaystyle Ta}$

Número de Froude (Fr)

El número de Froude compara las fuerzas inerciales con las fuerzas gravitacionales:

${\displaystyle Fr={\frac {U}{\sqrt {gL}}}}$

• Donde g es la aceleración debida a la gravedad.

Implicaciones :

• El número de Froude es especialmente importante en flujos de superficie libre y otros escenarios donde la gravedad afecta significativamente el movimiento del fluido.

Ecuación de Navier-Stokes adimensional

Al adimensionalizar la ecuación de Navier-Stokes, las distintas fuerzas físicas se pueden expresar en términos de números adimensionales. La ecuación adimensional de Navier-Stokes resultante es:

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\mathbf {u} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {\mathbf {u} }}\cdot \nabla {\tilde {\mathbf {u} }}=-\nabla {\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{2}{\tilde {\mathbf {u} }}-{\frac {1}{Ro}}\mathbf {\hat {z}} \times {\tilde {\mathbf {u} }}-{\frac {1}{Fr^{2}}}\mathbf {\hat {g}} }$

• Dónde:
  • ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {u} }}}$, , y​ son la velocidad, el tiempo y la presión adimensionales, ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {t} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {p} }}}$
  • ${\displaystyle Re}$, , y corresponden a los números de Reynolds, Rossby y Froude, respectivamente. ${\displaystyle Ro}$ ${\displaystyle Fr}$

Ejemplo: Flujo de cilindro giratorio

Considere el flujo de fluido dentro de un cilindro giratorio de radio R, que gira con una velocidad angular Ω. En este escenario, la velocidad característica es la velocidad tangencial U=ΩR y la escala de longitud es L=R. Al realizar un análisis de escala, se obtiene:

• Número de Reynolds :

${\displaystyle Re={\frac {\Omega R^{2}}{\nu }}}$

• Número de Rossby :

${\displaystyle Ro={\frac {1}{2}}}$

• Número de Ekman :

${\displaystyle Ek={\frac {\nu }{\Omega R^{2}}}}$

Interpretación :

• Cuando es grande, pueden producirse turbulencias. ${\displaystyle Re}$
• Lo pequeño indica la formación de capas límite delgadas influenciadas por la rotación, conocidas como capas de Ekman. ${\displaystyle Ek}$

Importancia del análisis de escala

El análisis de escala permite una comprensión más profunda de las fuerzas que dominan en un flujo determinado, lo que permite simplificar las ecuaciones que lo rigen. En muchos contextos de ingeniería y geofísica, conocer el equilibrio entre viscosidad, rotación e inercia es crucial para modelar flujos, predecir la formación de vórtices e identificar umbrales de turbulencia.

Referencias

• Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Cambridge University Press. ISBN: 978-0521663961.
• Kundu, PK y Cohen, IM (2002). Mecánica de fluidos . Academic Press. ISBN: 978-0123914272.
• Greenspan, HP (1968). La teoría de los fluidos rotatorios . Cambridge University Press. ISBN: 978-0521067213.
• Schlichting, H. y Gersten, K. (2017). Teoría de la capa límite . Saltador. ISBN: 978-3662537645.
• Tritton, DJ (1988). Dinámica de fluidos físicos . Clarendon Press. ISBN: 978-0198538959.