Teorema de Bolzano-Weierstrass

Una secuencia acotada en un espacio euclidiano de dimensión finita tiene una subsecuencia convergente

En matemáticas , específicamente en análisis real , el teorema de Bolzano-Weierstrass , llamado así por Bernard Bolzano y Karl Weierstrass , es un resultado fundamental sobre la convergencia en un espacio euclidiano de dimensión finita . El teorema establece que cada secuencia infinita acotada en tiene una subsecuencia convergente . ^[1] Una formulación equivalente es que un subconjunto de es secuencialmente compacto si y solo si es cerrado y acotado . ^[2] El teorema a veces se denomina teorema de compacidad secuencial . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Historia y significado

El teorema de Bolzano-Weierstrass debe su nombre a los matemáticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass . En realidad, Bolzano lo demostró por primera vez en 1817 como lema en la prueba del teorema del valor intermedio . Unos cincuenta años después, el resultado fue identificado como significativo por derecho propio y Weierstrass lo demostró de nuevo. Desde entonces se ha convertido en un teorema esencial del análisis .

Prueba

Primero demostramos el teorema para (conjunto de todos los números reales ), en cuyo caso el ordenamiento en puede ser de gran utilidad. De hecho, tenemos el siguiente resultado: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Lema : Toda secuencia infinita tiene una subsecuencia monótona infinita (una subsecuencia que no es decreciente ni creciente ). ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Prueba ^[4] : Llamemos a un índice de valor entero positivo de una secuencia un "pico" de la secuencia cuando para cada . Supongamos primero que la secuencia tiene infinitos picos, lo que significa que hay una subsecuencia con los siguientes índices y los siguientes términos . Entonces, la secuencia infinita en tiene una subsecuencia monótona (no creciente), que es . Pero supongamos ahora que solo hay un número finito de picos, sea el pico final si existe uno (sea en caso contrario) y sea el primer índice de una nueva subsecuencia establecido en . Entonces no es un pico, ya que viene después del pico final, lo que implica la existencia de con y . Nuevamente, viene después del pico final, por lo tanto hay un donde con . Repetir este proceso conduce a una subsecuencia infinita no decreciente  , probando así que cada secuencia infinita en tiene una subsecuencia monótona. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{m}\leq x_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle n_{1}=N+1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}<x_{n_{2}}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$ ${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Supongamos ahora que tenemos una sucesión acotada en ; por el lema demostrado anteriormente existe una subsucesión monótona, igualmente acotada. Del teorema de convergencia monótona se deduce que esta subsucesión converge. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

El caso general ( ) se puede reducir al caso de . En primer lugar, reconoceremos que una sucesión (en o ) tiene una subsucesión convergente si y solo si existe un conjunto numerable donde es el conjunto índice de la sucesión tal que converge. Sea cualquier sucesión acotada en y denote su conjunto índice por . La sucesión puede expresarse como una n-tupla de sucesiones en tales que donde es una sucesión para . Como es acotada, también es acotada para . Se sigue entonces por el lema que tiene una subsucesión convergente y, por tanto, existe un conjunto numerable tal que converge. Para la sucesión , al aplicar el lema una vez más, existe un conjunto numerable tal que converge y, por tanto, tiene una subsucesión convergente. Este razonamiento se puede aplicar hasta que obtengamos un conjunto numerable para el cual converge para . Por tanto, converge y, por tanto, como era arbitrario, cualquier sucesión acotada en tiene una subsucesión convergente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in K}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{n}=(x_{n1},x_{n2},\dots ,x_{nn})}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n1})}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq I}$ ${\displaystyle (x_{n1})_{n\in K_{1}}}$ ${\displaystyle (x_{n2})}$ ${\displaystyle K_{2}\subseteq K_{1}\subseteq I}$ ${\displaystyle (x_{n2})_{n\in K_{2}}}$ ${\displaystyle (x_{n2})}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in K_{n}}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Prueba alternativa

Existe también una demostración alternativa del teorema de Bolzano-Weierstrass utilizando intervalos anidados . Empezamos con una sucesión acotada : ${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  Debido a que está acotada, esta secuencia tiene un límite inferior y un límite superior . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$
• 
  Tomamos como primer intervalo para la secuencia de intervalos anidados. ${\displaystyle I_{1}=[s,S]}$
• 
  Luego nos dividimos en el medio en dos subintervalos de igual tamaño. ${\displaystyle I_{1}}$
• 
  Como cada secuencia tiene una cantidad infinita de miembros, debe haber (al menos) uno de estos subintervalos que contenga una cantidad infinita de miembros de . Tomamos este subintervalo como el segundo intervalo de la secuencia de intervalos anidados. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Luego nos dividimos nuevamente en el medio en dos subintervalos de igual tamaño. ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Nuevamente, uno de estos subintervalos contiene una cantidad infinita de miembros de . Tomamos este subintervalo como el tercer subintervalo de la secuencia de intervalos anidados. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{3}}$
• 
  Continuamos este proceso infinitas veces y obtenemos una secuencia de intervalos anidados.

Como dividimos a la mitad la longitud de un intervalo en cada paso, el límite de la longitud del intervalo es cero. Además, por el teorema de intervalos anidados , que establece que si cada uno es un intervalo cerrado y acotado, digamos ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},\,b_{n}]}$

con

${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$

Entonces, bajo el supuesto de anidación, la intersección de no está vacía. Por lo tanto, hay un número que está en cada intervalo . Ahora demostramos que es un punto de acumulación de . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Tomemos un vecindario de . Como la longitud de los intervalos converge a cero, hay un intervalo que es un subconjunto de . Como contiene por construcción una cantidad infinita de miembros de y , también contiene una cantidad infinita de miembros de . Esto demuestra que es un punto de acumulación de . Por lo tanto, hay una subsucesión de que converge a . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle I_{N}\subseteq U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Compacidad secuencial en espacios euclidianos

Definición: Un conjunto es secuencialmente compacto si cada secuencia en tiene una subsecuencia convergente que converge a un elemento de . ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Teorema: es secuencialmente compacto si y sólo si es cerrado y acotado. ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Demostración: ( la compacidad secuencial implica cierre y acotación)

Supóngase que es un subconjunto de con la propiedad de que cada secuencia en tiene una subsecuencia que converge a un elemento de . Entonces debe ser acotado, ya que de lo contrario se puede construir la siguiente secuencia no acotada. Para cada , definamos como cualquier punto arbitrario tal que . Entonces, cada subsecuencia de es no acotada y, por lo tanto, no convergente. Además, debe ser cerrado, ya que cualquier punto límite de , que tiene una secuencia de puntos en que converge a sí mismo, también debe estar en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle ||x_{n}||\geq n}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Demostración: (cerrado y acotado implica compacidad secuencial )

Como está acotado, cualquier sucesión también lo está. Del teorema de Bolzano-Weierstrass , contiene una subsucesión que converge a algún punto . Como es un punto límite de y es un conjunto cerrado , debe ser un elemento de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Por lo tanto, los subconjuntos de para los cuales cada secuencia en A tiene una subsecuencia que converge a un elemento de –es decir, los subconjuntos que son secuencialmente compactos en la topología del subespacio–  son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Esta forma del teorema deja especialmente clara la analogía con el teorema de Heine-Borel , que afirma que un subconjunto de es compacto si y solo si es cerrado y acotado. De hecho, la topología general nos dice que un espacio metrizable es compacto si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que los teoremas de Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel son esencialmente los mismos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Aplicación a la economía

Existen diferentes conceptos de equilibrio importantes en economía, cuyas pruebas de existencia a menudo requieren variaciones del teorema de Bolzano-Weierstrass. Un ejemplo es la existencia de una asignación eficiente en el sentido de Pareto . Una asignación es una matriz de paquetes de consumo para los agentes de una economía, y una asignación es eficiente en el sentido de Pareto si no se puede hacer ningún cambio que haga que ningún agente esté en peor situación y que al menos un agente esté en mejor situación (aquí las filas de la matriz de asignación deben ser clasificables por una relación de preferencia ). El teorema de Bolzano-Weierstrass permite demostrar que si el conjunto de asignaciones es compacto y no vacío , entonces el sistema tiene una asignación eficiente en el sentido de Pareto.

Véase también

• Espacio secuencialmente compacto
• Teorema de Heine-Borel
• Completitud de los números reales
• El principio variacional de Ekeland

Notas

1. Bartle y Sherbert 2000, pág. 78 (para R ).
2. Fitzpatrick 2006, pág. 52 (para R ), pág. 300 (para R ⁿ ).
3. Fitzpatrick 2006, pág. xiv.
4. Bartle y Sherbert 2000, págs. 78-79.

Referencias

• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (2000). Introducción al análisis real (3.ª ed.). Nueva York: J. Wiley. ISBN 9780471321484.
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Cálculo avanzado (2.ª ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

Enlaces externos

• "Teorema de Bolzano-Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass
• PlanetMath: demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass
• El rap de Bolzano-Weierstrass