Griese fue seleccionado como All-American con los Purdue Boilermakers antes de ser reclutado en 1967 por los Dolphins, que en aquel entonces pertenecían a la American Football League.
Tras retirarse fue introducido en el Salón de la Fama del Fútbol Americano Universitario en 1984 y al Salón de la Fama del Fútbol Americano Profesional en 1990.
Bob destacó como jugador de béisbol en el Rex Mundi High School.
Griese reside actualmente con su segunda esposa, Shay, en Jupiter, un pueblo ubicado en el condado de Palm Beach, Florida.
El 24 de octubre de 2009, durante una transmisión, se refirió al corredor Juan Pablo Montoya, diciendo que "estaba afuera comiéndose un taco" al señalar que no se encontraba en las primeras posiciones del NASCAR, lo que fue duramente criticado por ser considerado como un comentario racista.