chorro de bicley

En dinámica de fluidos , un chorro de Bickley es un chorro plano laminar bidimensional estable con un gran número de Reynolds que emerge en el fluido en reposo. Debe su nombre a W. G. Bickley, quien dio la solución analítica en 1937 ^[1] al problema derivado por Schlichting en 1933 ^[2] y el problema correspondiente en coordenadas axisimétricas se denomina chorro de Schlichting . La solución es válida solo para distancias alejadas del origen del chorro.

Descripción del flujo

Consideremos un plano estable que emerge en el mismo fluido, un tipo de chorros sumergidos desde una ranura estrecha, que se supone que es muy pequeña (de modo que el fluido pierde la memoria de la forma y el tamaño de la ranura lejos del origen, recuerda solo el flujo de momento neto). Sea la velocidad en coordenadas cartesianas y el eje del chorro sea el eje con origen en el orificio. El flujo es autosimilar para números de Reynolds grandes (el chorro es tan delgado que varía mucho más rápidamente en la dirección transversal que en la dirección de la corriente) y se puede aproximar con ecuaciones de capa límite . ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},\end{aligned}}}$

donde es la viscosidad cinemática y la presión es en todas partes igual a la presión del fluido exterior. Dado que el fluido está en reposo lejos del centro del chorro ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle u\rightarrow 0}$como , ${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$

y porque el flujo es simétrico respecto al eje ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=0}$en , ${\displaystyle y=0}$

y además, dado que no hay un límite sólido y la presión es constante, el flujo de momento a través de cualquier plano normal al eje debe ser el mismo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle M=2\rho \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy}$

es una constante, donde q también es constante para el flujo incompresible. ${\displaystyle \rho }$

Prueba de flujo de momento axial constante

La condición de flujo de momento constante se puede obtener integrando la ecuación de momento a través del chorro.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,dy=\left[\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right]_{-\infty }^{\infty },\\[10pt]&{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dy=0,\quad \Rightarrow \quad \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy={\text{constant}}.\end{aligned}}}$$

donde se utiliza para simplificar la ecuación anterior. El flujo de masa a través de cualquier sección transversal normal al eje no es constante, porque hay un arrastre lento de fluido externo hacia el chorro, y es parte de la solución de la capa límite. Esto se puede verificar fácilmente integrando la ecuación de continuidad a través de la capa límite. $${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}-u{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial v}{\partial y}}\,dy&=0,\\[8pt]{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u\,dy=-{\Big [}v{\Big ]}_{-\infty }^{\infty }&=-2v(x,\infty ).\end{aligned}}}$$

donde se utiliza la condición de simetría. ^{[3] [4]} ${\displaystyle v(x,-\infty )=-v(x,\infty )}$

Solución autosimilar

La solución autosimilar se obtiene introduciendo la transformación a la que se reduce la ecuación mientras las condiciones de contorno se convierten en $${\displaystyle \eta ={\frac {y}{x^{2/3}}},\quad u={\frac {6\nu }{x^{1/3}}}F'(\eta ),\quad v={\frac {2\nu }{x^{2/3}}}(2\eta F'(\eta )-F(\eta ))}$$ $${\displaystyle F'''+2FF''+2F'^{2}=0,}$$ $${\displaystyle F'(\pm \infty )=0,\quad F(0)=0,\quad M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }F'^{2}\,d\eta .}$$

La solución exacta viene dada por donde se resuelve a partir de la siguiente ecuación $${\displaystyle F(\eta )=\alpha \tanh \alpha \eta }$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} ^{4}\eta \,d\eta =48\nu ^{2}\rho \alpha ^{3},\quad \Rightarrow \quad \alpha =\left({\frac {M}{48\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}.}$$

Dejar $${\displaystyle \xi =\alpha \eta =0.2752\left({\frac {M}{\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}{\frac {y}{x^{2/3}}},}$$

La velocidad viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=0.4543\left({\frac {M^{2}}{\nu \rho ^{2}x}}\right)^{1/3}\operatorname {sech} ^{2}\xi ,\\v&=0.5503\left({\frac {M\nu }{\rho x^{2}}}\right)^{1/3}(2\xi \operatorname {sech} ^{2}\xi -\tanh \xi ).\end{aligned}}}$$

La tasa de flujo másico a través de un plano a una distancia del orificio normal al chorro es ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle Q=2\rho \int _{0}^{\infty }u\,dy=3.3019\left(M\nu \rho ^{2}x\right)^{1/3}.}$$

Véase también

• Avión a reacción Landau-Squire

Referencias

1. Bickley, WG "LXXIII. El avión a reacción". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 23.156 (1937): 727-731. (Artículo original: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786443708561847?journalCode=tphm18)
2. Schlichting, Hermann . "Laminare strahlausbreitung." ZAMM-Revista de Mecánica y Matemáticas Aplicadas/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 13.4 (1933): 260-263.
3. Kundu, PK y LM Cohen. "Mecánica de fluidos, 638 pp." Academic, Calif (1990).
4. Pozrikidis, Costas y Joel H. Ferziger . "Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional". (1997): 72–74.
5. Rosenhead, Louis, ed. Capas límite laminares. Clarendon Press, 1963.
6. Acheson, David J. Dinámica de fluidos elemental. Oxford University Press, 1990.
7. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.º 334. Cambridge University Press, 2006.