El proceso de Bernoulli

Any experiment with two possible random outcomes

Gráficas de probabilidad P de no observar eventos independientes cada uno de probabilidad p después de n ensayos de Bernoulli vs np para varios p . Se muestran tres ejemplos:
Curva azul : Lanzar un dado de 6 caras 6 veces da una probabilidad del 33,5% de que 6 (o cualquier otro número dado) nunca aparezca; se puede observar que a medida que n aumenta, la probabilidad de que un evento de 1/ n -posibilidad nunca aparezca después de n intentos converge rápidamente a 0 .
Curva gris : Para obtener una probabilidad del 50-50 de lanzar un Yahtzee (5 dados cúbicos que muestran todos el mismo número) se requieren 0,69 × 1296 ~ 898 lanzamientos.
Curva verde : Sacar una carta de una baraja de naipes sin comodines 100 (1,92 × 52) veces con reposición da un 85,7% de probabilidad de sacar el as de espadas al menos una vez.

En la teoría de la probabilidad y la estadística , un ensayo de Bernoulli (o ensayo binomial ) es un experimento aleatorio con exactamente dos resultados posibles , "éxito" y "fracaso", en el que la probabilidad de éxito es la misma cada vez que se realiza el experimento. ^[1] Recibe su nombre en honor a Jacob Bernoulli , un matemático suizo del siglo XVII, que los analizó en su Ars Conjectandi (1713). ^[2]

La formalización matemática y la formulación avanzada del ensayo de Bernoulli se conoce como el proceso de Bernoulli .

Dado que un ensayo de Bernoulli solo tiene dos resultados posibles, se puede formular como una pregunta de "sí o no". Por ejemplo:

• ¿La carta superior de una baraja barajada es un as?
• ¿El recién nacido era una niña? (Véase proporción sexual humana .)

En este contexto, el éxito y el fracaso son etiquetas para los dos resultados y no deben interpretarse literalmente ni como juicios de valor. En términos más generales, dado cualquier espacio de probabilidad , para cualquier evento (conjunto de resultados), se puede definir un ensayo de Bernoulli según si el evento ocurrió o no (evento o evento complementario ). Algunos ejemplos de ensayos de Bernoulli son:

• Lanzar una moneda al aire . En este contexto, el anverso ("cara") denota convencionalmente éxito y el reverso ("cruz") denota fracaso. Una moneda justa tiene una probabilidad de éxito de 0,5 por definición. En este caso, hay exactamente dos resultados posibles.
• Tirar un dado , donde un seis es un "éxito" y todo lo demás un "fracaso". En este caso, hay seis resultados posibles y el evento es un seis; el evento complementario "no es un seis" corresponde a los otros cinco resultados posibles.
• Al realizar una encuesta de opinión política , se elige a un votante al azar para determinar si ese votante votará "sí" en un próximo referéndum.

Definición

Los ensayos repetidos independientes de un experimento con exactamente dos resultados posibles se denominan ensayos de Bernoulli. Llamemos a uno de los resultados "éxito" y al otro "fracaso". Sea la probabilidad de éxito en un ensayo de Bernoulli y la probabilidad de fracaso. Entonces, la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman uno, ya que son eventos complementarios: "éxito" y "fracaso" son mutuamente excluyentes y exhaustivos . Por lo tanto, se tienen las siguientes relaciones: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.}$

Alternativamente, estos pueden expresarse en términos de probabilidades : dada la probabilidad de éxito y de fracaso, las probabilidades a favor son y las probabilidades en contra son Estas también pueden expresarse como números, dividiendo, obteniendo las probabilidades a favor, y las probabilidades en contra, : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p:q}$ ${\displaystyle q:p.}$ ${\displaystyle o_{f}}$ ${\displaystyle o_{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q).\end{aligned}}}$

Estos son inversos multiplicativos , por lo que se multiplican por 1, con las siguientes relaciones:

${\displaystyle o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.}$

En el caso de que un ensayo de Bernoulli represente un evento de un número finito de resultados igualmente probables , donde de los resultados son éxito y de los resultados son fracaso, las probabilidades a favor son y las probabilidades en contra son Esto produce las siguientes fórmulas para probabilidad y probabilidades: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S:F}$ ${\displaystyle F:S.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S.\end{aligned}}}$

Aquí las probabilidades se calculan dividiendo el número de resultados, no las probabilidades, pero la proporción es la misma, ya que estas razones solo difieren al multiplicar ambos términos por el mismo factor constante.

Las variables aleatorias que describen los ensayos de Bernoulli a menudo se codifican utilizando la convención de que 1 = "éxito", 0 = "fracaso".

Un experimento binomial está estrechamente relacionado con un ensayo de Bernoulli y consiste en un número fijo de ensayos de Bernoulli estadísticamente independientes , cada uno con una probabilidad de éxito , y cuenta el número de éxitos. Una variable aleatoria correspondiente a un experimento binomial se denota por , y se dice que tiene una distribución binomial . La probabilidad de exactamente éxitos en el experimento está dada por: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B(n,p)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B(n,p)}$

${\displaystyle P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}}$

donde es un coeficiente binomial . ${\displaystyle {n \choose k}}$

Los ensayos de Bernoulli también pueden conducir a distribuciones binomiales negativas (que cuentan el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli repetidos hasta que se observa un número específico de fracasos), así como a varias otras distribuciones.

Cuando se realizan múltiples ensayos de Bernoulli, cada uno con su propia probabilidad de éxito, a veces se los denomina ensayos de Poisson . ^[3]

Ejemplos

Lanzar monedas

Considere el sencillo experimento en el que se lanza una moneda cuatro veces. Calcule la probabilidad de que exactamente dos de los lanzamientos salgan cara.

Solución

Representación de los posibles resultados de lanzar una moneda cuatro veces en términos de la cantidad de caras. Como se puede ver, la probabilidad de obtener exactamente dos caras en cuatro lanzamientos es 6/16 = 3/8, lo que coincide con los cálculos.

Para este experimento, definamos que una cara es un éxito y una cruz, un fracaso. Como se supone que la moneda es justa, la probabilidad de éxito es . Por lo tanto, la probabilidad de fracaso, , está dada por ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q=1-p=1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}}$.

Usando la ecuación anterior, la probabilidad de que exactamente dos lanzamientos de un total de cuatro lanzamientos resulten en cara viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{4-2}\\&=6\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\\&={\dfrac {3}{8}}.\end{aligned}}}$

Tirar dados

¿Cuál es la probabilidad de que cuando se lanzan tres dados de seis caras independientes, exactamente dos den como resultado seises?

Solución

Probabilidades de obtener k seises de n dados independientes justos, con dados tachados que indican tiradas distintas de seises: 2 seises de 3 dados están marcados con un círculo

En un dado, la probabilidad de obtener un seis es . Por lo tanto, la probabilidad de no obtener un seis es . ${\displaystyle p={\tfrac {1}{6}}}$ ${\displaystyle q=1-p={\tfrac {5}{6}}}$

Como se indicó anteriormente, la probabilidad de exactamente dos seises de tres,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(2)&={3 \choose 2}p^{2}q^{3-2}\\&=3\times \left({\tfrac {1}{6}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {5}{6}}\right)^{1}\\&={\dfrac {5}{72}}\approx 0.069.\end{aligned}}}$

Véase también

• Esquema de Bernoulli
• Muestreo de Bernoulli
• Distribución de Bernoulli
• Distribución binomial
• Coeficiente binomial
• Intervalo de confianza de proporción binomial
• Muestreo de Poisson
• Diseño de muestreo
• Lanzamiento de moneda
• Jacob Bernoulli
• Prueba exacta de Fisher
• La prueba de Boschloo

Referencias

1. Papoulis, A. (1984). "Ensayos de Bernoulli". Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos (2.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . págs. 57–63.
2. James Victor Uspensky: Introducción a la probabilidad matemática , McGraw-Hill, Nueva York 1937, página 45
3. Rajeev Motwani y P. Raghavan. Algoritmos aleatorios. Cambridge University Press, Nueva York (NY), 1995, págs. 67-68

Enlaces externos

• "Ensayos de Bernoulli", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Simulación de n ensayos de Bernoulli". math.uah.edu . Consultado el 21 de enero de 2014 .