En el campo matemático de la geometría de Riemann , las esferas de Berger forman una clase especial de ejemplos de variedades de Riemann difeomorfas respecto de la 3-esfera . Su nombre se debe a Marcel Berger, quien las introdujo en 1962.
El grupo de Lie SU(2) es difeomorfo a la 3-esfera . Su álgebra de Lie es un espacio vectorial real tridimensional generado por
que son múltiplos complejos de las matrices de Pauli . Es directo comprobar que los conmutadores están dados por [ u 1 , u 2 ] = 2 u 3 y [ u 1 , u 3 ] = −2 u 2 y [ u 2 , u 3 ] = 2 u 1 . Cualquier producto interno positivo-definido en el álgebra de Lie determina una métrica de Riemann invariante por la izquierda en el grupo de Lie. Una esfera de Berger es una métrica obtenida así haciendo que el producto interno en el álgebra de Lie tenga matriz
en relación con la base u 1 , u 2 , u 3 . Aquí t es un número positivo que se puede elegir libremente; cada elección produce una esfera de Berger diferente. Si se eligiera negativa, se produciría en su lugar una métrica lorentziana . Utilizando la fórmula de Koszul es directo calcular la conexión de Levi-Civita :
El operador de curvatura tiene valores propios t , t , 4 − 3 t . La métrica de Berger invariante por la izquierda también es invariante por la derecha si y solo si t = 1 . [1]
El campo vectorial invariante por la izquierda en SU(2) correspondiente a u 1 (o a cualquier otro elemento particular del álgebra de Lie) es tangente a las fibras circulares de una fibración de Hopf SU(2) → S 2 . [2] Como tal, las métricas de Berger también se pueden construir a través de la fibración de Hopf, escalando las direcciones tangentes a las fibras. A diferencia de la construcción anterior, que se basa en una estructura de grupo de Lie en la 3-esfera, esta versión de la construcción se puede extender a las fibraciones de Hopf más generales S 2 n + 1 → CP n de esferas de dimensión impar sobre los espacios proyectivos complejos , utilizando la métrica de Fubini-Study .
Una desigualdad bien conocida de Wilhelm Klingenberg dice que para cualquier métrica riemanniana suave en una variedad orientable cerrada de dimensión par, si la curvatura seccional es positiva entonces el radio de inyectividad es mayor o igual a π ⁄ K 1/2 , donde K es el máximo de la curvatura seccional. Las esferas de Berger muestran que esto no se cumple si se elimina el supuesto de dimensionalidad par. [3]
De la misma manera, otra estimación de Klingenberg dice que para cualquier métrica riemanniana suave en una variedad cerrada simplemente conexa, si las curvaturas seccionales están todas en el intervalo [1,4) , entonces el radio de inyectividad es mayor que π ⁄ 2 . Las esferas de Berger muestran que el supuesto sobre la curvatura seccional no se puede eliminar. [3]
Cualquier variedad riemanniana compacta puede escalarse para producir una métrica de pequeño volumen, diámetro y radio de inyectividad pero de gran curvatura. Las esferas de Berger ilustran los fenómenos alternativos de pequeño volumen y radio de inyectividad pero sin diámetro pequeño ni gran curvatura. Muestran que la 3-esfera es una variedad colapsante : admite una secuencia de métricas riemannianas con curvatura uniformemente acotada pero radio de inyectividad que converge a cero. Esta secuencia de variedades riemannianas converge en la métrica de Gromov-Hausdorff a una esfera bidimensional de curvatura constante 4. [4]
La fibración de Hopf S 3 → S 2 es un fibrado principal con grupo estructural U(1) . Además, en relación con la métrica riemanniana estándar sobre S 3 , el campo vectorial de longitud unitaria a lo largo de las fibras del fibrado forma un campo vectorial de Killing . Esto quiere decir que U(1) actúa por isometrías. [2]
En términos más generales, considérese un grupo de Lie G que actúa por isometrías en una variedad de Riemann ( M , g ) . En esta generalidad (a diferencia del caso específico de la fibración de Hopf), las diferentes órbitas de la acción del grupo podrían tener diferente dimensionalidad. Por esta razón, escalar las direcciones tangentes a las órbitas del grupo por factores constantes, como para las esferas de Berger, produciría discontinuidades en la métrica. Las perturbaciones de Berger-Cheeger modifican la escala para abordar esto, de la siguiente manera. [5]
Dada una métrica riemanniana invariante por la derecha h en G , a la variedad de productos G × M se le puede dar la métrica riemanniana th ⊕ g . La acción por la izquierda de G en este producto por x ⋅( y , m ) = ( y x −1 , xm ) actúa libremente por isometrías, y por lo tanto hay una métrica riemanniana inducida naturalmente en el espacio cociente , que es naturalmente difeomórfica a M . [5]
La fibración de Hopf S 3 → S 2 es una inmersión riemanniana relativa a las métricas riemannianas estándar en S 3 y S 2 . Para cualquier inmersión riemanniana f : M → B , la variación canónica escala la parte vertical de la métrica por un factor constante. Las esferas de Berger son, por lo tanto, el espacio total de la variación canónica de la fibración de Hopf. Parte de la geometría de las esferas de Berger se generaliza a este contexto. Por ejemplo, si una inmersión riemanniana tiene fibras totalmente geodésicas, entonces la variación canónica también tiene fibras totalmente geodésicas. [6]
Fuentes
