Orden de operaciones

Realización del orden de operaciones matemáticas.

En matemáticas y programación de computadoras , el orden de las operaciones es una colección de reglas que reflejan convenciones sobre qué operaciones realizar primero para evaluar una expresión matemática determinada .

Estas reglas se formalizan con un ranking de las operaciones. El rango de una operación se denomina precedencia y una operación con mayor precedencia se realiza antes que las operaciones con menor precedencia. Las calculadoras generalmente realizan operaciones con la misma precedencia de izquierda a derecha, ^[1] pero algunos lenguajes de programación y calculadoras adoptan convenciones diferentes.

Por ejemplo, a la multiplicación se le concede mayor prioridad que a la suma, y ​​así ha sido desde la introducción de la notación algebraica moderna . ^{[2] [3]} Así, en la expresión 1 + 2 × 3 , la multiplicación se realiza antes de la suma, y ​​la expresión tiene el valor 1 + (2 × 3) = 7 , y no (1 + 2) × 3 = 9 . Cuando se introdujeron los exponentes en los siglos XVI y XVII, se les dio prioridad sobre la suma y la multiplicación y se colocaron como un superíndice a la derecha de su base. ^[2] Por lo tanto, 3 + 5 ² = 28 y 3 × 5 ² = 75 .

Estas convenciones existen para evitar la ambigüedad notacional y al mismo tiempo permitir que la notación sea breve. ^[4] Cuando se desee anular las convenciones de precedencia, o incluso simplemente enfatizarlas, se pueden utilizar paréntesis ( ). Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 obliga a que la suma preceda a la multiplicación, mientras que (3 + 5) ² = 64 obliga a que la suma preceda a la exponenciación . Si se requieren varios pares de paréntesis en una expresión matemática (como en el caso de paréntesis anidados), los paréntesis se pueden reemplazar por corchetes o llaves para evitar confusión, como en [2 × (3 + 4)] − 5 = 9 .

Estas reglas sólo tienen sentido cuando se utiliza la notación habitual (llamada notación infija ). Cuando se utiliza notación funcional o polaca para todas las operaciones, el orden de las operaciones resulta de la notación misma.

orden convencional

El orden de las operaciones, es decir, el orden en que normalmente se realizan las operaciones en una expresión, resulta de una convención adoptada en las matemáticas, la ciencia, la tecnología y muchos lenguajes de programación informática . Se resume como: ^{[2] [5]}

1. Paréntesis
2. exponenciación
3. Multiplicación y división
4. Adición y sustracción

Esto significa que para evaluar una expresión, primero se evalúa cualquier subexpresión dentro de paréntesis, trabajando de adentro hacia afuera si hay más de un conjunto. Ya sea entre paréntesis o no, la operación que esté más arriba en la lista anterior debe aplicarse primero. Las operaciones con la misma precedencia se evalúan convencionalmente de izquierda a derecha.

Si cada división se reemplaza con una multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la multiplicación permiten que los factores en cada término se multipliquen juntos en cualquier orden. A veces, a la multiplicación y a la división se les da la misma prioridad, o a veces a la multiplicación se les da mayor prioridad que a la división; ver § División y multiplicación mixtas a continuación. Si cada resta se reemplaza con la suma del opuesto (inversa aditiva), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la suma permiten sumar términos en cualquier orden.

El símbolo de la raíz √ se prolonga tradicionalmente mediante una barra (llamada vinculum ) sobre el radicando (esto evita la necesidad de paréntesis alrededor del radicando). Otras funciones utilizan paréntesis alrededor de la entrada para evitar ambigüedades. ^{[6] [7] [a]} Los paréntesis se pueden omitir si la entrada es una única variable numérica o constante, ^[2] como en el caso de sin x = sin( x ) y sin π = sin(π) . ^[a] Tradicionalmente esta convención se extiende a los monomios ; por lo tanto, sen 3 x = sen(3 x ) e incluso sen1/2xy = sin( xy /2) , pero sin x + y = sin( x ) + y , porque x + y no es un monomio. Sin embargo, esta convención no se comprende universalmente y algunos autores prefieren paréntesis explícitos. ^[b] Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de funciones, otras no.

Se pueden utilizar símbolos de agrupación para anular el orden habitual de operaciones. ^[2] Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión. ^[2] Los símbolos de agrupación se pueden eliminar utilizando las leyes asociativa y distributiva , y también se pueden eliminar si la expresión dentro del símbolo de agrupación está lo suficientemente simplificada para que no se produzca ambigüedad al eliminarla.

Ejemplos

Multiplicación antes de la suma:

${\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}$

Las subexpresiones entre paréntesis se evalúan primero:

${\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}$

Exponenciación antes de multiplicación, multiplicación antes de resta:

${\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}$

Cuando una expresión se escribe como superíndice, se considera que el superíndice está agrupado por su posición sobre su base:

${\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.}$

El operando de un símbolo raíz está determinado por la barra superior:

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

Una línea fraccionaria horizontal también actúa como símbolo de agrupación:

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

Los paréntesis se pueden anidar y deben evaluarse de adentro hacia afuera. Para mayor legibilidad, los paréntesis exteriores se pueden hacer más grandes que los paréntesis interiores. Como alternativa, a veces se utilizan otros símbolos de agrupación, como llaves { } o corchetes [ ] , junto con paréntesis ( ) . Por ejemplo:

${\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}$

Casos especiales

Signo menos unario

Existen diferentes convenciones con respecto a la operación unaria  '-' (generalmente pronunciada "menos"). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3 ² se interpreta en el sentido de −(3 ² ) = −9 . ^{[2] [8]}

En algunas aplicaciones y lenguajes de programación, en particular Microsoft Excel , PlanMaker (y otras aplicaciones de hojas de cálculo) y el lenguaje de programación bc , las operaciones unarias tienen mayor prioridad que las operaciones binarias, es decir, el menos unario tiene mayor prioridad que la exponenciación, por lo que en esos lenguajes −3 ² se interpretará como (−3) ² = 9 . ^[9] Esto no se aplica a la operación binaria menos '-'; por ejemplo en Microsoft Excel mientras las fórmulas y =−2^2devuelven 4, las fórmulas y devuelven −4.=-(2)^2=0+−2^2=0−2^2=−(2^2)

División y multiplicación mixta

No existe una convención universal para interpretar un término que contiene tanto la división denotada por '÷' como la multiplicación denotada por '×'. Las convenciones propuestas incluyen asignar a las operaciones la misma precedencia y evaluarlas de izquierda a derecha, o de manera equivalente tratar la división como una multiplicación por el recíproco y luego evaluarla en cualquier orden; ^[10] evaluando todas las multiplicaciones primero seguidas de divisiones de izquierda a derecha; o evitar tales expresiones y, en cambio, desambiguarlas siempre mediante paréntesis explícitos. ^[11]

Más allá de la escuela primaria, el símbolo '÷' para división rara vez se usa, pero se reemplaza por el uso de fracciones algebraicas , ^[12] generalmente escritas verticalmente con el numerador apilado sobre el denominador, lo que hace que la agrupación sea explícita e inequívoca, pero a veces se escribe en línea. usando la barra diagonal o el símbolo solidus, '/'.

La multiplicación denotada por yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita ) crea una unidad visual y tiene mayor prioridad que la mayoría de las otras operaciones. En la literatura académica, cuando las fracciones en línea se combinan con la multiplicación implícita sin paréntesis explícitos, se interpreta convencionalmente que la multiplicación tiene mayor precedencia que la división, de modo que, por ejemplo, se interpreta que 1 / 2 n significa 1 / (2 ·  n ) en lugar de (1 / 2) ·  n . ^{[2] [10] [13] [14]} Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas de Physical Review establecen directamente que la multiplicación tiene prioridad sobre la división, ^[15] y esta es también la convención observada en los libros de texto de física como el Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz ^[c] y libros de texto de matemáticas como Matemáticas Concretas de Graham , Knuth y Patashnik . ^[16] Sin embargo, algunos autores desaconsejan expresiones como a  /  bc , prefiriendo el uso explícito del paréntesis a  /( bc ) . ^[3]

Los casos más complicados son más ambiguos. Por ejemplo, la notación 1 / 2 π ( a  +  b ) podría significar plausiblemente 1 / [2 π  · ( a  +  b )] o [1 / (2 π )] · ( a  +  b ) . ^[17] A veces la interpretación depende del contexto. Las instrucciones de envío de Physical Review recomiendan no usar expresiones de la forma a  /  b  /  c ; expresiones más explícitas ( a  /  b ) /  c o a  / ( b  /  c ) no son ambiguas. ^[15]

6÷2(1+2) se interpreta como 6÷(2×(1+2)) en una fx-82MS (superior) y (6÷2)×(1+2) en una calculadora TI-83 Plus. (inferior), respectivamente.

Esta ambigüedad ha sido objeto de memes de Internet como " 8 ÷ 2(2 + 2) ", para el cual existen dos interpretaciones contradictorias: 8 ÷ [2 · (2 ​​+ 2)] = 1 y (8 ÷ 2) · (2 + 2) = 16. ^{[14] [18]} El investigador en educación matemática Hung-Hsi Wu señala que "nunca se consigue un cálculo de este tipo en la vida real", y llama a estos ejemplos artificiales "una especie de salón Gotcha! "Juego diseñado para atrapar a una persona desprevenida expresándolo en términos de un conjunto de reglas irrazonablemente complicadas". ^[12]

exponenciación en serie

Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados usando notación de superíndice, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo: ^{[2] [7]}

a ^{b c} = a ^{( b c )}

que normalmente no es igual a ( a ^b ) ^c . Esta convención es útil porque existe una propiedad de la exponenciación que indica que ( a ^b ) ^c = a ^bc , por lo que no es necesario utilizar la exponenciación en serie para esto.

Sin embargo, cuando la exponenciación se representa mediante un símbolo explícito como un signo de intercalación (^) o una flecha ( ↑), no existe un estándar común. Por ejemplo, Microsoft Excel y el lenguaje de programación informática MATLAB se evalúan como ( a ^b ) ^c , pero Google Search y Wolfram Alpha se evalúan como a ^{( b c )} . Así se evalúa a 4.096 en el primer caso y a 262.144 en el segundo caso.a^b^c4^3^2

Mnemotécnica

Los mnemotécnicos se utilizan a menudo para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, que involucran las primeras letras de palabras que representan varias operaciones. ^{[19] [20]}

• El acrónimo PEMDAS es común en Estados Unidos ^[21] y Francia. ^[22] Significa paréntesis , exponentes , multiplicación / división , suma / resta . ^[23] PEMDAS a veces se amplía a la mnemónica "Por favor, disculpe a mi querida tía Sally" en las escuelas. ^[24]
• BEDMAS , que significa soportes , exponentes , división / multiplicación , suma / resta , es común en Canadá y Nueva Zelanda. ^[25]

• El Reino Unido y otros países de la Commonwealth pueden utilizar BODMAS, que significa raquetas , operaciones , división / multiplicación , suma / resta . ^[25] A veces la O se expande como "De" ^[d] u "Orden" (es decir, potencias/exponentes o raíces). ^[26]
• BIDMAS también se utiliza, representandoraquetas B , índices , división / multiplicación , suma / resta . ^[27]
• En Alemania, la convención se enseña simplemente como Punktrechnung vor Strichrechnung .

Estos mnemotécnicos pueden resultar engañosos si se escriben de esta manera. ^[24] Por ejemplo, malinterpretar cualquiera de las reglas anteriores en el sentido de "primero la suma, después la resta" evaluaría incorrectamente la expresión ^[24] como , mientras que la evaluación correcta es . Estos valores son diferentes cuando . ${\displaystyle a-b+c}$ ${\displaystyle a-(b+c)}$ ${\displaystyle (a-b)+c}$ ${\displaystyle c\neq 0}$

Las siglas mnemotécnicas han sido criticadas por no desarrollar una comprensión conceptual del orden de las operaciones y por no abordar las preguntas de los estudiantes sobre su propósito o flexibilidad. ^{[28] [29]} Los estudiantes que aprenden el orden de las operaciones mediante acrónimos mnemotécnicos cometen errores de forma rutinaria, ^[30] al igual que algunos profesores en formación. ^[31] Incluso cuando los estudiantes aprenden correctamente el acrónimo, un enfoque desproporcionado en la memorización de trivialidades desplaza el contenido matemático sustancial. ^[12] La aplicación procesal del acrónimo no coincide con la comprensión intuitiva de los expertos sobre la notación matemática: la notación matemática indica agrupaciones en formas distintas a los paréntesis o corchetes y una expresión matemática es una jerarquía en forma de árbol en lugar de una estructura linealmente "ordenada"; Además, no existe un orden único mediante el cual las expresiones matemáticas deban simplificarse o evaluarse, ni ninguna simplificación canónica universal para ninguna expresión en particular, y los expertos aplican con fluidez transformaciones y sustituciones válidas en cualquier orden que sea conveniente, por lo que aprender un procedimiento rígido puede llevar a los estudiantes a una comprensión engañosa y limitante de la notación matemática. ^[32]

Calculadoras

Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operaciones. ^[2] Muchas calculadoras simples sin pila implementan la entrada en cadena , trabajando en el orden de presionar un botón sin dar prioridad a las diferentes operaciones, dan un resultado diferente al dado por calculadoras más sofisticadas. Por ejemplo, en una calculadora sencilla, al escribir 1 + 2 × 3 =se obtiene 9, mientras que en una calculadora más sofisticada se utilizará una prioridad más estándar, por lo que al escribir 1 + 2 × 3 =se obtiene 7.

Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda o a la derecha. Por ejemplo, la expresión se interpreta como a ^{( b c )} en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en "modo Mathprint", mientras que se interpreta como ( a ^b ) ^c en la TI-30XII y la TI-30XS. MultiView en "modo clásico".a^b^c

Una expresión como es interpretada como 1/(2 x ) por la TI-82 , ^[3] así como por muchas calculadoras Casio modernas ^[33] (configurables en algunas como la fx-9750GIII ), pero como (1/2) x por TI-83 y todas las demás calculadoras TI lanzadas desde 1996, ^{[34] [3]} , así como todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación debido a la naturaleza de la multiplicación implícita , ^[35] la última está más en línea con la regla de que la multiplicación y la división tienen la misma prioridad. ^[3]1/2x

Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, se pueden utilizar paréntesis para eliminar la ambigüedad. ^[3]

El orden de operaciones surgió debido a la adaptación de la notación infija en la notación matemática estándar , que puede ser notacionalmente ambigua sin tales convenciones, a diferencia de la notación posfija o la notación prefija , que no necesitan órdenes de operaciones. ^{[36] [37]} Por lo tanto, las calculadoras que utilizan notación polaca inversa (RPN) y utilizan una pila para ingresar expresiones en el orden de precedencia correcto no necesitan paréntesis ni ningún orden de ejecución posiblemente específico del modelo. ^{[24] [23]}

Lenguajes de programación

Most programming languages use precedence levels that conform to the order commonly used in mathematics,^[38] though others, such as APL, Smalltalk, Occam and Mary, have no operator precedence rules (in APL, evaluation is strictly right to left; in Smalltalk, it is strictly left to right).

Furthermore, because many operators are not associative, the order within any single level is usually defined by grouping left to right so that 16/4/4 is interpreted as (16/4)/4 = 1 rather than 16/(4/4) = 16; such operators are referred to as "left associative". Exceptions exist; for example, languages with operators corresponding to the cons operation on lists usually make them group right to left ("right associative"), e.g. in Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].

Dennis Ritchie, creator of the C language, said of the precedence in C (shared by programming languages that borrow those rules from C, for example, C++, Perl and PHP) that it would have been preferable to move the bitwise operators above the comparison operators.^[39] Many programmers have become accustomed to this order, but more recent popular languages like Python^[40] and Ruby^[41] do have this order reversed. The relative precedence levels of operators found in many C-style languages are as follows:

Gramática formal simplificada para expresiones aritméticas en un lenguaje de programación (izquierda) , ^[42] y derivación de la expresión de ejemplo (a+b)^2/2 (derecha) . Este último corresponde a una estructura jerárquica (" árbol de sintaxis ") que es única para la expresión dada. El compilador genera código de máquina a partir del árbol de tal manera que las operaciones que se originan en el nivel jerárquico más bajo se ejecutan primero.

Ejemplos:

• !A + !Bse interpreta como(!A) + (!B)
• ++A + !Bse interpreta como(++A) + (!B)
• A + B * Cse interpreta comoA + (B * C)
• A || B && Cse interpreta comoA || (B && C)
• A && B == Cse interpreta comoA && (B == C)
• A & B == Cse interpreta comoA & (B == C)

(En Python , Ruby , PARI/GP y otros lenguajes populares, A & B == Cse interpreta como (A & B) == C).

Los compiladores de fuente a fuente que compilan en varios idiomas deben abordar explícitamente la cuestión del orden diferente de las operaciones en todos los idiomas. Haxe, por ejemplo, estandariza el orden y lo hace cumplir insertando corchetes donde corresponde.

Se ha descubierto que la precisión del conocimiento de los desarrolladores de software sobre la precedencia de los operadores binarios sigue de cerca su frecuencia de aparición en el código fuente. ^[43]

Ver también

• Notación de operador común (para una descripción más formal)
• Hiperoperación
• Conectivo lógico#Orden de precedencia
• Asociatividad de operadores
• Sobrecarga del operador
• Prioridad de operadores en C y C++
• Notación polaca
• Notación polaca inversa

Notas

1. Algunos autores evitan deliberadamente cualquier omisión de paréntesis con funciones incluso en el caso de una sola variable numérica o argumentos constantes (es decir, Oldham en Atlas), mientras que otros autores (como NIST) aplican esta simplificación de notación solo de forma condicional junto con caracteres múltiples específicos. nombres de funciones (como sin), pero no lo use con nombres de funciones genéricas (como f).
2. Para evitar cualquier ambigüedad, esta simplificación notacional para monomios se evita deliberadamente en trabajos como el Atlas de funciones de Oldham o el Manual de funciones matemáticas del NIST.
3. Por ejemplo, la tercera edición de Mechanics de Landau y Lifshitz contiene expresiones como hP _z /2 π (p. 22), y el primer volumen de Feynman Lectures contiene expresiones como 1/2 √ N (p. 6– 7). En ambos libros, estas expresiones se escriben con la convención de que el solidus se evalúa al final.
4. "De" cuando se usa para referirse a una operación matemática significa multiplicación. Por ejemplo, se entiende que "la mitad de cincuenta" significa "1/2 por 50", lo que equivale a 25.

Referencias

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    El libro de Chrystal fue la fuente canónica en inglés sobre el álgebra de la escuela secundaria de principios del siglo XX y, posiblemente, la fuente de muchas descripciones posteriores del orden de las operaciones. Sin embargo, si bien el libro de Chrystal inicialmente establece una regla rígida para evaluar expresiones que involucran los símbolos '÷' y '×', luego otorga consistentemente mayor prioridad a la multiplicación implícita que a la división al escribir fracciones en línea, sin discutir explícitamente la discrepancia entre la regla formal y la práctica común. .

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    "Varios comentaristas parecen estar usando una convención diferente (y más sofisticada) que la convención PEMDAS elemental que describí en el artículo. En esta convención más sofisticada, que se usa a menudo en álgebra, la multiplicación implícita (también conocida como multiplicación por yuxtaposición) es se le da mayor prioridad que la multiplicación explícita o la división explícita (en las que se escriben explícitamente operadores como × * / o ÷). Bajo esta convención más sofisticada, la multiplicación implícita en 2(2 + 2) tiene mayor prioridad que la división explícita implícita por el uso de ÷. Esa es una convención muy razonable, y estoy de acuerdo en que la respuesta es 1 si utilizamos esta convención sofisticada.
    "Pero esa convención no es universal. Por ejemplo, las calculadoras integradas en Google y WolframAlpha utilizan la convención menos sofisticada que describí en el artículo; no hacen distinción entre multiplicación implícita y explícita cuando se les pide que evalúen expresiones aritméticas simples. [ ...]"
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Further reading

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External links

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