Estabilidad BIBO

Cuando las salidas de un sistema están acotadas para cada entrada acotada

En el procesamiento de señales , específicamente en la teoría del control , la estabilidad de entradas limitadas, salidas limitadas ( BIBO ) es una forma de estabilidad para señales y sistemas que reciben entradas. Si un sistema es BIBO estable, entonces la salida estará limitada por cada entrada al sistema que esté limitada.

Una señal está acotada si hay un valor finito tal que la magnitud de la señal nunca excede , es decir ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle B}$

Para señales en tiempo discreto : ${\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }$

Para señales de tiempo continuo : ${\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R} }$

Condición en el dominio del tiempo para sistemas lineales invariantes en el tiempo

Condición necesaria y suficiente de tiempo continuo.

Para un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) de tiempo continuo , la condición para la estabilidad BIBO es que la respuesta al impulso sea absolutamente integrable , es decir, que exista su norma L 1 . ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Condición suficiente en tiempo discreto

Para un sistema LTI de tiempo discreto , la condición para la estabilidad BIBO es que la respuesta al impulso sea absolutamente sumable , es decir, que exista su norma . ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

Prueba de suficiencia

Dado un sistema LTI de tiempo discreto con respuesta de impulso , la relación entre la entrada y la salida es ${\displaystyle \ h[n]}$ ${\displaystyle \ x[n]}$ ${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

donde denota convolución . Luego se sigue por la definición de convolución. ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$

Sea el valor máximo de , es decir, la norma . ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ |x[n]|}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$(por la desigualdad del triángulo )

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

Si es absolutamente sumable, entonces y ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

Entonces, si es absolutamente sumable y está acotado, entonces también está acotado porque . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ ${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

La prueba del tiempo continuo sigue los mismos argumentos.

Condición en el dominio de la frecuencia para sistemas lineales invariantes en el tiempo

Señales de tiempo continuo

Para un sistema racional y de tiempo continuo , la condición de estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada de Laplace incluya el eje imaginario . Cuando el sistema es causal , la ROC es la región abierta a la derecha de una línea vertical cuya abscisa es la parte real del "polo mayor", o el polo que tiene la mayor parte real de cualquier polo del sistema. La parte real del polo más grande que define la República de China se llama abscisa de convergencia . Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar estrictamente en la mitad izquierda del plano s para la estabilidad de BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de la condición anterior en el dominio del tiempo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

dónde y ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

Por tanto, la región de convergencia debe incluir el eje imaginario .

Señales en tiempo discreto

Para un sistema de tiempo racional y discreto , la condición de estabilidad es que la región de convergencia (ROC) de la transformada z incluya el círculo unitario . Cuando el sistema es causal , la República de China es la región abierta fuera de un círculo cuyo radio es la magnitud del polo de mayor magnitud. Por lo tanto, todos los polos del sistema deben estar dentro del círculo unitario en el plano z para la estabilidad de BIBO.

Esta condición de estabilidad se puede derivar de manera similar a la derivación en tiempo continuo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

dónde y . ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ${\displaystyle r=|z|=1}$

Por tanto, la región de convergencia debe incluir el círculo unitario .

Ver también

• Teoría del sistema LTI
• Filtro de respuesta de impulso finito (FIR)
• Filtro de respuesta de impulso infinito (IIR)
• Trama de Nyquist
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• trama de presagio
• margen de fase
• Método del lugar de las raíces
• Estabilidad de entrada a estado

Otras lecturas

• Gordon E. Carlson Análisis de sistemas lineales y de señales con Matlab segunda edición, Wiley, 1998, ISBN  0-471-12465-6
• John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis Principios, algoritmos y aplicaciones del procesamiento de señales digitales, tercera edición, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter y Rodger E. Ziemer Señales y sistemas continuos y discretos cuarta edición, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X 
• Prueba de las condiciones necesarias para la estabilidad de BIBO.
• Christophe Basso Diseño de bucles de control para fuentes de alimentación lineales y conmutadas: una guía tutorial, primera edición, Artech House, 2012, 978-1608075577
• Michael Unser (2020). "Una nota sobre la estabilidad de BIBO". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 68 : 5904–5913. arXiv : 2005.14428 . doi :10.1109/TSP.2020.3025029.

Referencias