En matemáticas , un plano de Benz es un tipo de estructura geométrica bidimensional , que lleva el nombre del matemático alemán Walter Benz . El término se aplicó a un grupo de objetos que surgen de una axiomatización común de determinadas estructuras y se dividieron en tres familias, que fueron introducidas por separado: planos de Möbius , planos de Laguerre y planos de Minkowski . [1] [2]
Comenzar desde el plano euclidiano real y fusionar el conjunto de líneas con el conjunto de círculos para formar un conjunto de bloques da como resultado una estructura de incidencia no homogénea : tres puntos distintos determinan un bloque, pero las líneas se distinguen como un conjunto de bloques que se cruzan entre sí en pares. en un punto sin ser tangente (o sin puntos cuando es paralelo). Agregar al conjunto de puntos el nuevo punto , definido para que se encuentre en cada línea, da como resultado que cada bloque esté determinado por exactamente tres puntos, así como la intersección de dos bloques cualesquiera siguiendo un patrón uniforme (que se cruzan en dos puntos, son tangentes o no se cruzan). ). Esta geometría homogénea se llama geometría inversa clásica o plano de Möbius. La falta de homogeneidad de la descripción (líneas, círculos, nuevo punto) puede verse como no sustancial utilizando un modelo tridimensional. Usando una proyección estereográfica , se puede ver que el plano clásico de Möbius es isomorfo a la geometría de las secciones planas (círculos) en una esfera en el espacio tridimensional euclidiano.
De manera análoga al plano proyectivo (axiomático) , un plano de Möbius (axiomático) define una estructura de incidencia. De manera similar, los planos de Möbius pueden construirse sobre campos distintos de los números reales.
Partiendo de nuevo y tomando las curvas con ecuaciones (parábolas y rectas) como bloques, es efectiva la siguiente homogeneización: Añadir a la curva el nuevo punto . Por tanto el conjunto de puntos es . Esta geometría de parábolas se llama plano de Laguerre clásico (originalmente fue diseñado como la geometría de líneas y círculos orientados. Ambas geometrías son isomorfas).
En cuanto al plano de Möbius, existe un modelo tridimensional: la geometría de las secciones del plano elíptico en un cilindro ortogonal (en ). Una abstracción conduce (análogamente al plano de Möbius) al plano axiomático de Laguerre.
Partiendo de las rectas y fusionándolas con las hipérbolas para obtener el conjunto de bloques, la siguiente idea homogeneiza la estructura de incidencia: Sumar a cualquier recta el punto y a cualquier hipérbola los dos puntos . Por lo tanto el conjunto de puntos es . Esta geometría de las hipérbolas se llama plano clásico de Minkowski.
De manera análoga a los planos clásicos de Möbius y Laguerre, existe un modelo tridimensional: el plano clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (cuádrico no degenerado de índice 2) en un espacio proyectivo tridimensional. . De manera similar a los dos primeros casos, obtenemos el plano (axiomático) de Minkowski.
Debido al papel esencial del círculo (considerado como la cónica no degenerada en un plano proyectivo ) y la descripción plana de los modelos originales, los tres tipos de geometrías se subsumen a las geometrías circulares planas o en honor a Walter Benz, quien consideró estas Estructuras geométricas desde un punto de vista común, planos Benz.
