Teorema de convergencia autónoma

En matemáticas , un teorema de convergencia autónoma es uno de una familia de teoremas relacionados que especifican condiciones que garantizan la estabilidad asintótica global de un sistema dinámico autónomo continuo .

Historia

La conjetura de Markus-Yamabe fue formulada como un intento de dar condiciones para la estabilidad global de sistemas dinámicos continuos en dos dimensiones . Sin embargo, la conjetura de Markus-Yamabe no se cumple para dimensiones mayores que dos, un problema que los teoremas de convergencia autónoma intentan abordar. El primer teorema de convergencia autónoma fue construido por Russell Smith. ^[1] Este teorema fue refinado posteriormente por Michael Li y James Muldowney. ^[2]

Un ejemplo de teorema de convergencia autónoma

Un teorema de convergencia autónoma comparativamente simple es el siguiente:

Sea un vector en algún espacio , que evoluciona según una ecuación diferencial autónoma . Supóngase que es convexo e invariante hacia delante bajo , y que existe un punto fijo tal que . Si existe una norma logarítmica tal que el jacobiano satisface para todos los valores de , entonces es el único punto fijo, y es globalmente asintóticamente estable. ^{[3] [4]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$ ${\displaystyle f({\hat {x}})=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle J(x)=D_{x}f}$ ${\displaystyle \mu (J(x))<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

Este teorema de convergencia autónoma está muy estrechamente relacionado con el teorema de punto fijo de Banach .

Cómo funciona la convergencia autónoma

Nota: esta es una descripción intuitiva de cómo los teoremas de convergencia autónoma garantizan la estabilidad, no una descripción estrictamente matemática.

El punto clave en el teorema de ejemplo dado anteriormente es la existencia de una norma logarítmica negativa, que se deriva de una norma vectorial . La norma vectorial mide efectivamente la distancia entre puntos en el espacio vectorial en el que se define la ecuación diferencial, y la norma logarítmica negativa significa que las distancias entre puntos, medidas por la norma vectorial correspondiente, disminuyen con el tiempo bajo la acción de . Mientras las trayectorias de todos los puntos en el espacio de fases estén acotadas , todas las trayectorias deben converger eventualmente al mismo punto. ${\displaystyle f}$

Los teoremas de convergencia autónoma de Russell Smith, Michael Li y James Muldowney funcionan de manera similar, pero se basan en demostrar que el área de las formas bidimensionales en el espacio de fases disminuye con el tiempo. Esto significa que no pueden existir órbitas periódicas , ya que todos los bucles cerrados deben reducirse a un punto. Si el sistema está acotado, entonces, según el lema de cierre de Pugh , tampoco puede haber un comportamiento caótico , por lo que todas las trayectorias deben alcanzar eventualmente un equilibrio.

Michael Li también ha desarrollado un teorema de convergencia autónoma extendido que es aplicable a sistemas dinámicos que contienen una variedad invariante . ^[5]

Notas

1. Russell A. Smith, "Algunas aplicaciones de las desigualdades de dimensión de Hausdorff para ecuaciones diferenciales ordinarias", Actas de la Royal Society of Edinburgh Sección A , 104A :235–259, 1986
2. Michael Y. Li y James S. Muldowney, "Sobre el teorema de convergencia autónoma de RA Smith", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 25(1) :365–379, 1995
3. VI Verbitskii y AN Gorban , Operadores conjuntos disipativos y sus aplicaciones, Siberian Mathematical Journal , 33(1):19–23 , 1992 (ver también AN Gorban, Yu.I. Shokin, VI Verbitskii, arXiv:physics/9702021v2 [física] .comp-ph])
4. Murad Banaji y Stephen Baigent, "Redes de transferencia de electrones", Journal of Mathematical Chemistry , 43(4) :1355–1370, 2008
5. Michael Y. Li y James S. Muldowney, "Dinámica de ecuaciones diferenciales en variedades invariantes", Journal of Differential Equations , 168 :295–320, 2000