En el campo matemático de la teoría del orden , un elemento a de un conjunto parcialmente ordenado con mínimo elemento 0 es un átomo si 0 < a y no existe x tal que 0 < x < a .
De manera equivalente, se puede definir un átomo como un elemento que es mínimo entre los elementos distintos de cero o, alternativamente, un elemento que cubre el elemento mínimo 0 .
Sea <: la relación de cobertura en un conjunto parcialmente ordenado.
Un conjunto parcialmente ordenado con al menos el elemento 0 es atómico si cada elemento b > 0 tiene un átomo a debajo, es decir, hay algún a tal que b ≥ a :> 0 . Todo conjunto finito parcialmente ordenado con 0 es atómico, pero el conjunto de números reales no negativos (ordenados de la forma habitual) no es atómico (y de hecho no tiene átomos).
Un conjunto parcialmente ordenado es relativamente atómico (o fuertemente atómico ) si para todo a < b existe un elemento c tal que a <: c ≤ b o, de manera equivalente, si cada intervalo [ a , b ] es atómico. Todo conjunto relativamente atómico parcialmente ordenado con un elemento mínimo es atómico. Todo poset finito es relativamente atómico.
Un conjunto parcialmente ordenado con menos elemento 0 se llama atomístico (no debe confundirse con atómico ) si cada elemento es el límite superior mínimo de un conjunto de átomos. El orden lineal con tres elementos no es atomístico (ver Fig. 2).
Los átomos en conjuntos parcialmente ordenados son generalizaciones abstractas de elementos únicos en la teoría de conjuntos (ver Fig. 1). La atomicidad (la propiedad de ser atómico) proporciona una generalización abstracta en el contexto de la teoría del orden de la capacidad de seleccionar un elemento de un conjunto no vacío.
Los términos coatom , coatómico y coatomístico se definen de forma dual. Por lo tanto, en un conjunto parcialmente ordenado con mayor elemento 1 , se dice que