Opción asiática

Una opción asiática (u opción de valor promedio ) es un tipo especial de contrato de opción . En el caso de las opciones asiáticas, el pago se determina por el precio subyacente promedio durante un período de tiempo preestablecido. Esto es diferente del caso de la opción europea y la opción americana habituales , en las que el pago del contrato de opción depende del precio del instrumento subyacente en el momento del ejercicio; las opciones asiáticas son, por tanto, una de las formas básicas de opciones exóticas .

Hay dos tipos de opciones asiáticas: la opción de precio promedio (strike fijo), donde el precio de ejercicio está predeterminado y se utiliza el precio promedio del activo subyacente para el cálculo del pago; y la opción de precio promedio (strike flotante), donde el precio promedio del activo subyacente durante la duración se convierte en el precio de ejercicio.

Una ventaja de las opciones asiáticas es que reducen el riesgo de manipulación del mercado del instrumento subyacente al vencimiento. ^[1] Otra ventaja de las opciones asiáticas es el costo relativo de las opciones asiáticas en comparación con las opciones europeas o americanas. Debido a la característica de promediado, las opciones asiáticas reducen la volatilidad inherente a la opción; por lo tanto, las opciones asiáticas suelen ser más baratas que las opciones europeas o americanas. Esto puede ser una ventaja para las corporaciones que están sujetas a la Declaración N° 123 revisada del Consejo de Normas de Contabilidad Financiera , que exige que las corporaciones deduzcan como gasto las opciones sobre acciones de los empleados. ^[2]

Etimología

En la década de 1980, Mark Standish trabajaba en el Bankers Trust, con sede en Londres, en el ámbito de los derivados de renta fija y el arbitraje por cuenta propia. David Spaughton trabajaba como analista de sistemas en los mercados financieros con el Bankers Trust desde 1984, cuando el Banco de Inglaterra concedió por primera vez licencias a los bancos para realizar operaciones con opciones sobre divisas en el mercado de Londres. En 1987, Standish y Spaughton estaban en Tokio por negocios cuando "desarrollaron la primera fórmula de fijación de precios utilizada comercialmente para opciones vinculadas al precio medio del petróleo crudo". Llamaron a esta exótica opción la opción asiática porque estaban en Asia. ^{[3] [4] [5] [6]}

Permutaciones de la opción asiática

Existen numerosas permutaciones de la opción asiática; las más básicas se enumeran a continuación:

• Pago de opciones call asiáticas con tasa de strike fija (o tasa promedio)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

donde A denota el precio promedio para el período [0, T] y K es el precio de ejercicio. La opción put
equivalente viene dada por

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(K-A(0,T),0\right).}$

• Pago de opción de compra asiática con tasa de ejercicio flotante (o tasa flotante)

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

donde S(T) es el precio al vencimiento y k es una ponderación, normalmente 1, por lo que a menudo se omite en las descripciones.
El pago equivalente de la opción de venta viene dado por

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

Tipos de promedios

El promedio se puede obtener de muchas maneras. Convencionalmente, esto significa un promedio aritmético . En el caso continuo , esto se obtiene mediante ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

Para el caso de monitoreo discreto (con monitoreo en los tiempos y ) tenemos el promedio dado por ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}$ ${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

También existen opciones asiáticas con media geométrica ; en el caso continuo, esta viene dada por

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

Precios de las opciones asiáticas

En un artículo de Kemna y Vorst se presenta un análisis del problema de la fijación de precios de opciones asiáticas con métodos de Monte Carlo . ^[7]

En el enfoque de la integral de trayectorias para la fijación de precios de opciones, ^[8] el problema del promedio geométrico se puede resolver a través del potencial clásico efectivo ^[9] de Feynman y Kleinert . ^[10]

Rogers y Shi resuelven el problema de precios con un enfoque PDE. ^[11]

Se puede implementar un modelo de varianza gamma de manera eficiente al fijar precios de opciones de estilo asiático. Luego, el uso de la representación de la serie de Bondesson para generar el proceso de varianza gamma puede aumentar el rendimiento computacional del fijador de precios de opciones asiáticas. ^[12]

En los modelos de volatilidad estocástica y de difusión por saltos, el problema de fijación de precios para las opciones asiáticas geométricas aún se puede resolver. ^[13] Para la opción asiática aritmética en los modelos de Lévy, se puede confiar en métodos numéricos ^[13] o en límites analíticos. ^[14]

Opciones de compra y venta asiáticas europeas con promedio geométrico

Podemos derivar una solución de forma cerrada para la opción asiática geométrica; cuando se utiliza junto con variables de control en simulaciones de Monte Carlo , la fórmula es útil para derivar valores justos para la opción asiática aritmética.

Defina la media geométrica de tiempo continuo como: donde el subyacente sigue un movimiento browniano geométrico estándar . Es sencillo a partir de aquí calcular que: Para derivar la integral estocástica, que originalmente era , observe que: Esto puede confirmarse mediante el lema de Itô . Integrando esta expresión y usando el hecho de que , encontramos que las integrales son equivalentes; esto será útil más adelante en la derivación. Usando la fijación de precios martingala , el valor del call asiático europeo con promedio geométrico está dado por: Para encontrar , debemos encontrar tal que: Después de algo de álgebra, encontramos que: En este punto, la integral estocástica es el punto de fricción para encontrar una solución a este problema. Sin embargo, es fácil verificar con la isometría de Itô que la integral se distribuye normalmente como: Esto es equivalente a decir que con . Por lo tanto, tenemos que: ¡Ahora es posible calcular el valor del call asiático europeo con promedio geométrico! En este punto, es útil definir: Siguiendo el mismo proceso que se hace con el modelo Black-Scholes , podemos encontrar que: De hecho, siguiendo los mismos argumentos para la opción put asiática europea con promedio geométrico , encontramos que: Esto implica que existe una versión de paridad put-call para las opciones asiáticas europeas con promedio geométrico: ${\displaystyle G_{T}}$ $${\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}$$ ${\displaystyle S(t)}$ $${\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}}$$ ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$ $${\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}$$ ${\displaystyle W_{0}=0}$ ${\displaystyle C_{G}}$ $${\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}$$ $${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}$$ $${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$ ${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$ ${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ $${\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }$$ $${\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}$$ $${\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}$$ ${\textstyle P_{G}}$ $${\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}$$ $${\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}$$

Variaciones de la opción asiática

Existen algunas variantes que se venden en el mercado extrabursátil. Por ejemplo, BNP Paribas introdujo una variante, denominada opción asiática condicional, en la que el precio subyacente promedio se basa en observaciones de precios por encima de un umbral preestablecido. Una opción put asiática condicional tiene como resultado

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

donde es el umbral y es una función indicadora que es igual a si es verdadera y es igual a cero en caso contrario. Esta opción ofrece una alternativa más barata que la opción put asiática clásica, ya que la limitación en el rango de observaciones reduce la volatilidad del precio promedio. Normalmente se vende al precio de mercado y dura hasta cinco años. Feng y Volkmer analizan la fijación de precios de la opción asiática condicional. ^[15] ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$

Referencias

1. Kemna y Vorst 1990, pág. 1077
2. FASB (2004). Pago basado en acciones (Informe). Consejo de Normas de Contabilidad Financiera. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2018. Consultado el 7 de abril de 2010 .
3. William Falloon; David Turner, eds. (1999). "La evolución de un mercado". Gestión del riesgo de precio de la energía . Londres: Risk Books.
4. Wilmott, Paul (2006). "25". Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas . John Wiley & Sons. pág. 427. ISBN 9780470060773.
5. Palmer, Brian (14 de julio de 2010), ¿Por qué llamamos "exóticos" a los instrumentos financieros? Porque algunos de ellos son de Japón., Slate
6. Glyn A. Holton (2013). "Opción asiática (opción promedio)". Risk Encyclopedia. Archivado desde el original el 2013-12-06 . Consultado el 2013-08-10 . Una opción asiática (también llamada opción promedio) es una opción cuyo pago está vinculado al valor promedio del subyacente en un conjunto específico de fechas durante la vida de la opción". "[E]n situaciones en las que el subyacente se negocia poco o existe la posibilidad de que su precio sea manipulado, una opción asiática ofrece cierta protección. Es más difícil manipular el valor promedio de un subyacente durante un período prolongado de tiempo que manipularlo justo al vencimiento de una opción.
7. Kemna, AGZ; Vorst, ACF (1990), "Un método de fijación de precios para opciones basado en valores de activos promedio", Journal of Banking & Finance , 14 (1): 113–129, doi :10.1016/0378-4266(90)90039-5
8. Kleinert , H. (2009), Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros, archivado desde el original el 24 de abril de 2009 , consultado el 10 de enero de 2010
9. Feynman RP , Kleinert H. (1986), "Funciones de partición clásicas efectivas" (PDF) , Physical Review A , 34 (6): 5080–5084, Bibcode :1986PhRvA..34.5080F, doi :10.1103/PhysRevA.34.5080, PMID  9897894
10. Devreese JPA; Lemmens D.; Tempere J. (2010), "Enfoque de la integral de trayectorias para las opciones asiáticas en el modelo Black-Scholes", Physica A , 389 (4): 780–788, arXiv : 0906.4456 , Bibcode :2010PhyA..389..780D, doi :10.1016/j.physa.2009.10.020, S2CID  122748812
11. Rogers, LCG; Shi, Z. (1995), "El valor de una opción asiática" (PDF) , Journal of Applied Probability , 32 (4): 1077–1088, doi :10.2307/3215221, JSTOR  3215221, S2CID  120793076, archivado desde el original (PDF) el 20 de marzo de 2009 , consultado el 28 de noviembre de 2008
12. Mattías Sander. Representación de Bondesson del modelo de varianza gamma y fijación de precios de opciones de Monte Carlo. Lunds Tekniska Högskola 2008
13. Kirkby, JL; Nguyen, Duy (2020), "Precios de opciones asiáticas eficientes bajo difusiones de saltos de cambio de régimen y modelos de volatilidad estocástica", Annals of Finance , 16 (3): 307–351, doi :10.1007/s10436-020-00366-0, S2CID  8038376
14. Lemmens, Damiaan; Liang, Ling Zhi; Tempere, Jacques; De Schepper, Ann (2010), "Límites de fijación de precios para opciones asiáticas aritméticas discretas según los modelos de Lévy", Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193–5207, Bibcode :2010PhyA..389.5193L, doi :10.1016/j.physa.2010.07.026
15. Feng, R.; Volkmer, HW (2015), "Opciones asiáticas condicionales", Revista internacional de finanzas teóricas y aplicadas , 18 (6): 1550040, arXiv : 1505.06946 , doi :10.1142/S0219024915500405, S2CID  3245552