En álgebra abstracta , la condición de cadena ascendente se puede aplicar a los conjuntos parciales de ideales principales izquierdos, derechos o bilaterales de un anillo , parcialmente ordenados por inclusión . La condición de cadena ascendente sobre ideales principales (abreviada como ACCP ) se cumple si no existe una cadena infinita estrictamente ascendente de ideales principales del tipo dado (izquierdo/derecho/bilateral) en el anillo, o dicho de otra manera, toda cadena ascendente es eventualmente constante.
La condición de cadena descendente contraparte también se puede aplicar a estos conjuntos parciales, sin embargo, actualmente no hay necesidad de la terminología "DCCP" ya que a estos anillos ya se los llama anillos perfectos izquierdos o derechos . (Véase § Anillos no conmutativos más abajo. )
Los anillos noetherianos (por ejemplo, los dominios ideales principales ) son ejemplos típicos, pero algunos anillos no noetherianos importantes también satisfacen (ACCP), en particular los dominios de factorización única y los anillos perfectos izquierdos o derechos.
Es bien sabido que una no unidad distinta de cero en un dominio integral noetheriano se factoriza en irreducibles . La prueba de esto se basa solo en (ACCP) no en (ACC), por lo que en cualquier dominio integral con (ACCP), existe una factorización irreducible. (En otras palabras, cualquier dominio integral con (ACCP) es atómico . Pero el recíproco es falso, como se muestra en (Grams 1974).) Tal factorización puede no ser única; la forma habitual de establecer la unicidad de las factorizaciones utiliza el lema de Euclides , que requiere que los factores sean primos en lugar de simplemente irreducibles. De hecho, uno tiene la siguiente caracterización: sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.
El llamado criterio de Nagata se cumple para un dominio integral A que satisface (ACCP): Sea S un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. Si la localización S −1 A es una función funcional unitaria, entonces A también lo es . [1] (Obsérvese que el inverso de esto es trivial).
Un dominio integral A satisface (ACCP) si y sólo si el anillo polinomial A [ t ] lo hace. [2] El hecho análogo es falso si A no es un dominio integral. [3]
Un dominio integral donde cada ideal finitamente generado es principal (es decir, un dominio de Bézout ) satisface (ACCP) si y solo si es un dominio ideal principal . [4]
El anillo Z + X Q [ X ] de todos los polinomios racionales con término constante entero es un ejemplo de un dominio entero (en realidad un dominio MCD) que no satisface (ACCP), para la cadena de ideales principales.
no es terminante.
En el caso no conmutativo, se hace necesario distinguir el ACCP derecho del ACCP izquierdo . El primero solo requiere el conjunto de ideales de la forma xR para satisfacer la condición de cadena ascendente, y el segundo solo examina el conjunto de ideales de la forma Rx .
Un teorema de Hyman Bass (Bass 1960), ahora conocido como "Teorema P de Bass", mostró que la condición de cadena descendente en los ideales izquierdos principales de un anillo R es equivalente a que R sea un anillo perfecto derecho . D. Jonah demostró en (Jonah 1970) que existe una conexión de cambio de lado entre el ACCP y los anillos perfectos. Se demostró que si R es perfecto derecho (satisface el DCCP derecho), entonces R satisface el ACCP izquierdo y, simétricamente, si R es perfecto izquierdo (satisface el DCCP izquierdo), entonces satisface el ACCP derecho. Las recíprocas no son ciertas, y los cambios anteriores entre "izquierda" y "derecha" no son errores tipográficos.
Independientemente de si el ACCP se cumple en el lado derecho o izquierdo de R , implica que R no tiene un conjunto infinito de idempotentes ortogonales distintos de cero , y que R es un anillo finito de Dedekind . [5]
