Sobre la esfera y el cilindro ( griego : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) es un tratado que fue publicado por Arquímedes en dos volúmenes c. 225 a. C. [1] En particular, detalla cómo encontrar el área de superficie de una esfera y el volumen de la bola contenida y los valores análogos para un cilindro , y fue el primero en hacerlo. [2]
Las principales fórmulas derivadas de Sobre la esfera y el cilindro son las mencionadas anteriormente: área de superficie de la esfera, volumen de la bola contenida y área de superficie y volumen del cilindro. Sea el radio de la esfera y el cilindro, y sea la altura del cilindro, suponiendo que el cilindro es un cilindro recto: el lado es perpendicular a ambas tapas. En su trabajo, Arquímedes demostró que la superficie de un cilindro es igual a:
y que el volumen del mismo es:
En la esfera, demostró que el área de la superficie es cuatro veces el área de su círculo máximo . En términos modernos, esto significa que la superficie es igual a:
El resultado para el volumen de la bola contenida indicó que es dos tercios del volumen de un cilindro circunscrito , lo que significa que el volumen es
Cuando el cilindro inscrito es estrecho y tiene una altura , de modo que la esfera toca el cilindro en la parte superior e inferior, demostró que tanto el volumen como el área de la superficie de la esfera eran dos tercios del del cilindro. Esto implica que el área de la esfera es igual al área del cilindro menos sus tapas. Este resultado conduciría eventualmente a la proyección cilíndrica de áreas iguales de Lambert , una forma de mapear el mundo que representa áreas con precisión. Arquímedes estaba particularmente orgulloso de este último resultado (ya que supuestamente estaba inscrito en su lápida descubierta por Cicerón ), por lo que pidió un boceto de una esfera inscrita en un cilindro para inscribirlo en su tumba. Más tarde, el filósofo romano Marco Tulio Cicerón descubrió la tumba, que había sido cubierta por la vegetación circundante. [4]
El argumento que utilizó Arquímedes para demostrar la fórmula del volumen de una bola estaba bastante involucrado en su geometría, y muchos libros de texto modernos tienen una versión simplificada que utiliza el concepto de límite , que no existía en la época de Arquímedes. Arquímedes utilizó un medio polígono inscrito en un semicírculo, luego giró ambos para crear un conglomerado de troncos en una esfera, cuyo volumen luego determinó. [5]
Parece que éste no es el método original que utilizó Arquímedes para derivar este resultado, sino el mejor argumento formal disponible para él en la tradición matemática griega. Su método original probablemente implicaba un uso inteligente de palancas. [6] Un palimpsesto robado de la Iglesia Ortodoxa Griega a principios del siglo XX, que reapareció en una subasta en 1998, contenía muchas de las obras de Arquímedes, incluido El método de los teoremas mecánicos , en el que describe un método para determinar volúmenes que implica balanzas, centros de masa y cortes infinitesimales. [7]
