En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un grupo de Arquímedes es un grupo ordenado linealmente para el cual se cumple la propiedad de Arquímedes : cada dos elementos positivos del grupo están acotados por múltiplos enteros entre sí. El conjunto R de números reales junto con la operación de suma y la relación de ordenamiento habitual entre pares de números es un grupo de Arquímedes. Según Otto Hölder , todo grupo de Arquímedes es isomorfo a un subgrupo de este grupo. El nombre "Arquímedes" proviene de Otto Stolz , quien nombró la propiedad de Arquímedes por su aparición en las obras de Arquímedes . [1]
Un grupo aditivo consta de un conjunto de elementos, una operación de suma asociativa que combina pares de elementos y devuelve un solo elemento, un elemento identidad (o elemento cero) cuya suma con cualquier otro elemento es el otro elemento, y una operación aditiva inversa como que la suma de cualquier elemento y su inverso es cero. [2] Un grupo es un grupo linealmente ordenado cuando, además, sus elementos pueden ordenarse linealmente de una manera que sea compatible con la operación de grupo: para todos los elementos x , y y z , si x ≤ y entonces x + z ≤ y + z y z + x ≤ z + y .
La notación na (donde n es un número natural ) representa la suma grupal de n copias de a . Un grupo de Arquímedes ( G , +, ≤) es un grupo ordenado linealmente sujeto a la siguiente condición adicional, la propiedad de Arquímedes: Para cada a y b en G que sean mayores que 0, es posible encontrar un número natural n para el cual la desigualdad b ≤ na se cumple. [3]
Una definición equivalente es que un grupo de Arquímedes es un grupo linealmente ordenado sin subgrupos cíclicos acotados : no existe un subgrupo cíclico S y un elemento x con x mayor que todos los elementos en S. [4] Es sencillo ver que esto es equivalente a la otra definición: la propiedad de Arquímedes para un par de elementos a y b es simplemente la afirmación de que el subgrupo cíclico generado por a no está acotado por b .
Los conjuntos de los números enteros, los números racionales y los números reales, junto con la operación de suma y el ordenamiento habitual (≤), son grupos de Arquímedes. Cada subgrupo de un grupo de Arquímedes es en sí mismo Arquímedes, por lo que se deduce que cada subgrupo de estos grupos, como el grupo aditivo de los números pares o de los racionales diádicos , también forma un grupo de Arquímedes.
Por el contrario , como demostró Otto Hölder , todo grupo de Arquímedes es isomorfo (como grupo ordenado) a un subgrupo de números reales. [5] [6] [7] [8] De esto se deduce que todo grupo de Arquímedes es necesariamente un grupo abeliano : su operación de suma debe ser conmutativa . [5]
Los grupos que no pueden ordenarse linealmente, como los grupos finitos , no son Arquímedes. Para ver otro ejemplo, vea los números p -ádicos , un sistema de números que generaliza los números racionales de una manera diferente a los números reales.
También existen grupos ordenados no arquimedianos; el grupo ordenado ( G , +, ≤) definido de la siguiente manera no es Arquímedes. Sean los elementos de G los puntos del plano euclidiano , dados por sus coordenadas cartesianas : pares ( x , y ) de números reales. Sea la operación de suma de grupos una suma puntual (vectorial) y ordene estos puntos en orden lexicográfico : si a = ( u , v ) y b = ( x , y ), entonces a + b = ( u + x , v + y ), y a ≤ b exactamente cuando v < y o v = y y u ≤ x . Entonces esto da un grupo ordenado, pero que no es de Arquímedes. Para ver esto, considere los elementos (1, 0) y (0, 1), los cuales son mayores que el elemento cero del grupo (el origen ). Para cada número natural n , se deduce de estas definiciones que n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), por lo que no existe ningún n que satisfaga la propiedad de Arquímedes. [9] Este grupo puede considerarse como el grupo aditivo de pares de un número real y un infinitesimal , donde es una unidad infinitesimal: pero para cualquier número real positivo . Los campos ordenados no de Arquímedes se pueden definir de manera similar y sus grupos aditivos son grupos ordenados de Arquímedes. Estos se utilizan en análisis no estándar e incluyen los números hiperreales y los números surrealistas .
Si bien los grupos ordenados no arquimedianos no pueden incluirse en los números reales, sí pueden incluirse en una potencia de los números reales, con orden lexicográfico, mediante el teorema de inclusión de Hahn ; El ejemplo anterior es el caso bidimensional.
Todo grupo de Arquímedes tiene la propiedad de que, por cada corte de Dedekind del grupo, y cada elemento del grupo ε > 0, existe otro elemento del grupo x con x en el lado inferior del corte y x + ε en el lado superior del corte. . Sin embargo, existen grupos ordenados no arquimedianos con la misma propiedad. El hecho de que los grupos de Arquímedes sean abelianos se puede generalizar: todo grupo ordenado con esta propiedad es abeliano. [10]
Los grupos de Arquímedes pueden generalizarse a monoides de Arquímedes , monoides ordenados linealmente que obedecen a la propiedad de Arquímedes . Los ejemplos incluyen los números naturales, los números racionales no negativos y los números reales no negativos, con la operación y el orden binarios habituales . Mediante una prueba similar a la de los grupos de Arquímedes, se puede demostrar que los monoides de Arquímedes son conmutativos .
