Relación reflexiva

Relación binaria que relaciona cada elemento consigo mismo.

En matemáticas , una relación binaria en un conjunto es reflexiva si relaciona cada elemento consigo mismo. ^{[1] [2]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo de relación reflexiva es la relación " es igual a " sobre el conjunto de los números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o se dice que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Definiciones

Sea una relación binaria en un conjunto que por definición es solo un subconjunto de Para cualquiera, la notación significa que mientras que "no " significa que ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle (x,y)\in R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle (x,y)\not \in R.}$

La relación se llama reflexiva si para cada o equivalentemente, si donde denota la relación de identidad en El cierre reflexivo de es la unión que puede definirse de manera equivalente como la relación reflexiva más pequeña (con respecto a ) en que es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y sólo si es igual a su cierre reflexivo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es la relación más pequeña (con respecto a ) en que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a. La reducción reflexiva de puede, en cierto sentido, verse como una construcción que es el "opuesto" de el cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica sobre los reales es la desigualdad no estricta habitual, mientras que la reducción reflexiva de es ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$

Definiciones relacionadas

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se llama: ${\displaystyle R}$

irreflexivo ,antirreflexivo oaliorelativo

^[3] si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si no se cumple ninguna relación A es irreflexiva si y sólo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica. ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X\times X}$

izquierda casi reflexiva

si siempre son tales que entonces necesariamente ^[4] ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx.}$

derecho casi reflexivo

si siempre son tales que entonces necesariamente ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle yRy.}$

cuasi reflexivo

si todo elemento que forma parte de alguna relación está relacionado consigo mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que sean tales que necesariamente y de manera equivalente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y sólo si es cuasi-reflexiva a la izquierda y cuasi-reflexiva a la derecha. Una relación es cuasi reflexiva si y sólo si su cierre simétrico es cuasi reflexivo hacia la izquierda (o hacia la derecha). ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle yRy.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

antisimétrico

si siempre son tales que entonces necesariamente ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx,}$ ${\displaystyle x=y.}$

coreflexivo

si siempre son tales que entonces necesariamente ^[5] Una relación es correflexiva si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle R}$

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexiva, ni asimétrica ( se llama asimétrica si implica no ), ni antitransitiva ( es antitransitiva si implica no ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$ ${\displaystyle xRz}$

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual a"
• "es menor o igual que"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprimo con" en los números enteros mayores que 1
• "es un subconjunto adecuado de"
• "es mayor que"
• "es menos que"

Un ejemplo de relación irreflexiva, que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" ( ) en los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados entre sí pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par" es reflexiva en el conjunto de los números pares , irreflexiva en el conjunto de los impares y ni reflexiva ni irreflexiva en el conjunto de los números naturales . ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Un ejemplo de una relación cuasi reflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no toda secuencia tiene un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite que él mismo. Un ejemplo de una relación cuasi reflexiva de izquierda es una relación euclidiana de izquierda , que siempre es cuasi reflexiva de izquierda pero no necesariamente cuasi reflexiva de derecha y, por tanto, no necesariamente cuasi reflexiva. ${\displaystyle R}$

Un ejemplo de relación correflexiva es la relación entre números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no hay otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como correflexiva, y cualquier relación correflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación correflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto es siempre transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas en un conjunto de elementos es ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

Tenga en cuenta que S ( n , k ) se refiere a los números de Stirling del segundo tipo .

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica suelen utilizar terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi reflexivas se denominan reflexivas . ^{[7] [8]}

Notas

1. Levy 1979, pag. 74
2. Schmidt 2010
3. Este término se debe a CS Peirce ; véase Russell 1920, pág. 32. Russell también introduce dos términos equivalentes que están contenidos o implican diversidad .
4. La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
5. Fonseca de Oliveira y Pereira Cunha Rodrigues 2004, p. 337
6. Enciclopedia en línea de secuencias enteras A053763
7. Hausman, Kahane y Tidman 2013, págs. 327–328
8. Clarke y Behling 1998, pág. 187

Referencias

• Clarke, DS; Behling, Richard (1998). Lógica deductiva: introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . Prensa Universitaria de América. ISBN 0-7618-0922-8.
• Fonseca de Oliveira, José Nuño; Pereira Cunha Rodrigues, César de Jesus (2004), "Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash", Matemáticas de la construcción de programas , Springer: 334–356
• Hausman, Alan; Kahane, Howard; Tidman, Paul (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X.
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Dover, ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R.; Pilz, G. (1998), Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98290-6
• Quine, WV (1951), Lógica matemática , edición revisada, reimpreso en 2003, Harvard University Press, ISBN 0-674-55451-5
• Russell, Bertrand (1920). Introducción a la Filosofía Matemática (PDF) (2ª ed.). Londres: George Allen & Unwin, Ltd. (Edición corregida en línea, febrero de 2010)
• Schmidt, Gunther (2010), Matemáticas relacionales , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7

enlaces externos

• "Reflexividad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]