Anillo tautológico

Concepto matemático

En geometría algebraica , el anillo tautológico es el subanillo del anillo de Chow del espacio de módulos de curvas generado por clases tautológicas. Estas son clases obtenidas a partir de 1 mediante empuje hacia adelante a lo largo de varios morfismos descritos a continuación. El anillo de cohomología tautológica es la imagen del anillo tautológico bajo la función de ciclo (del anillo de Chow al anillo de cohomología).

Definición

Sea la pila de módulos de curvas marcadas estables , tales que ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle (C;x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• C es una curva compleja de género aritmético g cuyas únicas singularidades son los nodos,

• los n puntos x ₁ , ..., x _n son puntos lisos distintos de C ,

• La curva marcada es estable, es decir, su grupo de automorfismos (dejando invariantes los puntos marcados) es finito.

La última condición requiere , en otras palabras, que ( g , n ) no esté entre (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). La pila tiene entonces dimensión . Además de las permutaciones de los puntos marcados, los siguientes morfismos entre estas pilas de módulos juegan un papel importante en la definición de clases tautológicas: ${\displaystyle 2g-2+n>0}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 3g-3+n}$

• Mapas olvidadizos que actúan eliminando un punto dado x _k del conjunto de puntos marcados y luego reestabilizando la curva marcada si ya no es estable ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n-1}}$

• Mapas de pegado que identifican el k -ésimo punto marcado de una curva con el l -ésimo punto marcado de la otra. Otro conjunto de mapas de pegado es el que identifica los k -ésimo y l -ésimo puntos marcados, aumentando así el género creando un bucle cerrado. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+g',n+n'}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+2}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g+1,n}}$

Los anillos tautológicos se definen simultáneamente como los subanillos más pequeños de los anillos de Chow cerrados bajo empuje hacia adelante por mapas olvidadizos y de pegado. ^[1] ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

El anillo de cohomología tautológica es la imagen de debajo del mapa de ciclos. A fecha de 2016, no se sabe si los anillos de cohomología tautológica y tautológica son isomorfos. ${\displaystyle RH^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

Grupo electrógeno

Definimos la clase de la siguiente manera. Sea el avance de 1 a lo largo de la función de pegado que identifica el punto marcado x _k de la primera curva a uno de los tres puntos marcados y _i en la esfera (la última elección no es importante gracias a los automorfismos). Para mayor precisión, ordene los puntos resultantes como x ₁ , ..., x _{k −1} , y ₁ , y ₂ , x _{k +1} , ..., x _n . Entonces se define como el avance de a lo largo de la función olvidadiza que olvida el punto y ₂ . Esta clase coincide con la primera clase de Chern de un cierto fibrado lineal. ^[1] ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \psi _{k}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle \delta _{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{0,3}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}}$ ${\displaystyle \psi _{k}}$ ${\displaystyle -\delta _{k}^{2}}$

Porque también definimos que es el avance de a lo largo de la función olvidadiza que olvida el k -ésimo punto. Esto es independiente de k (simplemente permutamos los puntos). ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle \kappa _{i}\in R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle (\psi _{k})^{i+1}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n+1}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

El teorema se genera de forma aditiva mediante el avance a lo largo de (cualquier número de) mapas de pegado de monomios en las clases y . ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \kappa }$

Estos empujes de monomios hacia delante (en adelante llamados clases básicas) no forman una base. El conjunto de relaciones no se conoce en su totalidad.

Teorema. Los anillos tautológicos son invariantes bajo retrocesos a lo largo de aplicaciones de pegado y olvidadizas. Existen fórmulas combinatorias universales que expresan los retrocesos, los avances y los productos de clases básicas como combinaciones lineales de clases básicas.

Conjeturas de Faber

El anillo tautológico en el espacio de módulos de curvas de género g suaves de n puntas simplemente consiste en restricciones de clases en . Omitimos n cuando es cero (cuando no hay ningún punto marcado). ${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g,n})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n})}$

En el caso de curvas sin punto marcado, Mumford conjeturó, y Madsen y Weiss demostraron, que para cualquier función la función es un isomorfismo de grado d para valores g suficientemente grandes . En este caso todas las clases son tautológicas. ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [\kappa _{1},\kappa _{2},\ldots ]\to H^{\bullet }({\mathcal {M}}_{g})}$

Conjetura (Faber). (1) Los anillos tautológicos de gran grado se desvanecen: para (2) y hay una fórmula combinatoria explícita para este isomorfismo. (3) El producto (que proviene del anillo de Chow) de clases define un emparejamiento perfecto. ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})=0}$ ${\displaystyle d>g-2.}$ ${\displaystyle R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})\times R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})\to R^{g-2}({\mathcal {M}}_{g})\cong \mathbb {Q} .}$

Aunque se anula trivialmente debido a la dimensión de , el límite conjeturado es mucho menor. La conjetura determinaría completamente la estructura del anillo: un polinomio de grado cohomológico d se anula si y solo si su emparejamiento con todos los polinomios de grado cohomológico se anula. ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle d>3g-3}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \kappa _{j}}$ ${\displaystyle g-d-2}$

Las partes (1) y (2) de la conjetura fueron probadas. La parte (3), también llamada conjetura de Gorenstein, fue verificada solamente para . Para y géneros superiores, varios métodos de construcción de relaciones entre clases encuentran el mismo conjunto de relaciones que sugieren que las dimensiones de y son diferentes. Si el conjunto de relaciones encontradas por estos métodos es completo, entonces la conjetura de Gorenstein es errónea. Además de la búsqueda informática no sistemática original de Faber basada en aplicaciones clásicas entre fibrados vectoriales sobre , la d -ésima potencia de fibra de la curva universal , se han utilizado los siguientes métodos para encontrar relaciones: ${\displaystyle g<24}$ ${\displaystyle g=24}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle R^{d}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle R^{g-d-2}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}\twoheadrightarrow {\mathcal {M}}_{g}}$

• Clases virtuales del espacio de módulos de cocientes estables (sobre ) de Pandharipande y Pixton. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

• Clase de espín r de Witten y clasificación de teorías de campos cohomológicos de Givental-Telemann, utilizadas por Pandharipande, Pixton y Zvonkine. ^[3]

• Geometría del jacobiano universal sobre , por Yin. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,1}}$

• Potencias del divisor theta en la variedad abeliana universal, por Grushevsky y Zakharov. ^[4]

Se ha demostrado que estos cuatro métodos proporcionan el mismo conjunto de relaciones.

Se formularon conjeturas similares para espacios de módulos de curvas estables y de curvas estables de tipo compacto. Sin embargo, Petersen-Tommasi ^[5] demostró que y no obedecen a la conjetura de Gorenstein (análoga). Por otro lado, Tavakol ^[6] demostró que para el género 2 el espacio de módulos de curvas estables de colas racionales obedece a la condición de Gorenstein para cada n . ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\text{c.t.}}}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\overline {\mathcal {M}}}_{2,20})}$ ${\displaystyle R^{\bullet }({\mathcal {M}}_{2,8}^{\text{c.t.}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,n}^{\text{r.t.}}}$

Véase también

• Fórmula ELSV
• Paquete Hodge
• Conjetura de Witten

Referencias

1. Faber, C.; Pandharipande, R. (2011). "Cohomología tautológica y no tautológica del espacio de módulos de curvas". arXiv : 1101.5489 [math.AG].
2. Pandharipande, R.; Pixton, A. (2013). "Relaciones en el anillo tautológico del espacio de módulos de curvas". arXiv : 1301.4561 [math.AG].
3. Pandharipande, R.; Pixton, A.; Zvonkine, D. (2016). "Relaciones tautológicas a través de estructuras de espín r". arXiv : 1607.00978 [math.AG].
4. Grushevsky, Samuel; Zakharov, Dmitry (2012). "La sección cero de la variedad semiabeliana universal y el ciclo de doble ramificación". Duke Mathematical Journal . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . doi :10.1215/00127094-26444575.
5. Petersen, Dan; Tommasi, Orsola (2012). "La conjetura de Gorenstein falla para el anillo tautológico de $\mathcal{\bar M}_{2,n}$". Invenciones matemáticas . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Código Bib : 2014 InMat.196..139P. doi :10.1007/s00222-013-0466-z.
6. Tavakol, Mehdi (2011). "El anillo tautológico del espacio de módulos M_{2,n}^rt". arXiv : 1101.5242 [math.AG].

• Vakil, Ravi (2003), "El espacio de módulos de curvas y su anillo tautológico" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 50 (6): 647–658, MR  1988577
• Graber, Tom; Vakil, Ravi (2001), "Sobre el anillo tautológico de M ¯ g , n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} " (PDF) , Revista Turca de Matemáticas , 25 (1): 237–243, MR  1829089