En álgebra , el término anillo de Hermite (en honor a Charles Hermite ) se ha aplicado a tres objetos diferentes.
Según Kaplansky (1949) (p. 465), un anillo es Hermite recto si, por cada dos elementos a y b del anillo, hay un elemento d del anillo y una matriz M invertible de 2 × 2 sobre el anillo tal que ( a b ) M = ( d 0), y el término Hermite izquierdo se define de manera similar. Las matrices sobre un anillo de este tipo se pueden poner en forma normal de Hermite multiplicando por la derecha por una matriz cuadrada invertible (Kaplansky (1949), p. 468.) Lam (2006) (apéndice de §I.4) llama a esta propiedad K-Hermite , utilizando Hermite en su lugar en el sentido que se indica a continuación.
Según Lam (1978) (§I.4, p. 26), un anillo es Hermite derecho si cualquier módulo derecho libre y estable generado finitamente sobre el anillo es libre . Esto equivale a requerir que cualquier vector fila ( b 1 ,..., b n ) de elementos del anillo que lo generan como un módulo recto (es decir, b 1 R + ... + b n R = R ) pueda completarse en una matriz invertible (no necesariamente cuadrada [ se necesita aclaración ] ) agregando un cierto número de filas. El criterio de ser dejado Hermite se puede definir de manera similar. Lissner (1965) (p. 528) llamó anteriormente a un anillo conmutativo con esta propiedad anillo H.
Según Cohn (2006) (§0.4), un anillo es Hermite si, además de que cada módulo establemente libre (izquierdo) es libre, tiene un número de base invariante .
Todos los anillos conmutativos que son ermitaños en el sentido de Kaplansky también lo son en el sentido de Lam, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Todos los dominios de Bézout son Hermite en el sentido de Kaplansky, y un anillo conmutativo que es Hermite en el sentido de Kaplansky también es un anillo de Bézout (Lam (2006), pp. 39-40.)
La conjetura del anillo de Hermite , introducida por Lam (1978) (p. xi), establece que si R es un anillo de Hermite conmutativo, entonces el anillo polinómico R [ x ] también es un anillo de Hermite.