En matemáticas , el álgebra de Hecke es el álgebra generada por los operadores de Hecke , que reciben su nombre en honor a Erich Hecke .
El álgebra es un anillo conmutativo . [1] [2]
En la teoría clásica de formas modulares elípticas , los operadores de Hecke T n con n coprimos con el nivel que actúa sobre el espacio de formas cúspide de un peso dado son autoadjuntos con respecto al producto interno de Petersson . [3] Por lo tanto, el teorema espectral implica que existe una base de formas modulares que son funciones propias para estos operadores de Hecke. Cada una de estas formas básicas posee un producto de Euler . Más precisamente, su transformada de Mellin es la serie de Dirichlet que tiene productos de Euler con el factor local para cada primo p es el recíproco del polinomio de Hecke , un polinomio cuadrático en p − s . [4] [5] En el caso tratado por Mordell, el espacio de formas cúspide de peso 12 con respecto al grupo modular completo es unidimensional. De ello se deduce que la forma de Ramanujan tiene un producto de Euler y establece la multiplicatividad de τ ( n ). [6]
El álgebra clásica de Hecke se ha generalizado a otros entornos, como el álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto y el álgebra de Hecke esférica que surgen cuando se consideran las formas modulares y otras formas automórficas utilizando grupos adélicos . [7] Estos juegan un papel central en la correspondencia de Langlands . [8]
El álgebra de Hecke derivada es una generalización adicional de las álgebras de Hecke a los funtores derivados . [8] [9] [10] Fue introducida por Peter Schneider en 2015, quien, junto con Rachel Ollivier, las utilizó para estudiar la correspondencia p -ádica de Langlands. [8] [9] [10] [11] Es el tema de varias conjeturas sobre la cohomología de los grupos aritméticos por Akshay Venkatesh y sus colaboradores. [8] [10] [12] [13] [14]