Función aireada

Función especial en las ciencias físicas.

En las ciencias físicas, la función de Airy (o función de Airy de primer tipo ) Ai( x ) es una función especial que lleva el nombre del astrónomo británico George Biddell Airy (1801-1892). La función Ai( x ) y la función relacionada Bi( x ) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,}$$

ecuación de Airyecuación de Stokes

Porque la solución de la ecuación diferencial lineal

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0}$$

k <0k >0x <0x >0ecuación diferencial lineal de

Gráfico de la función de Airy Ai( z ) en el plano complejo de -2 - 2 i a 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Gráfica de la derivada de la función de Airy Ai'( z ) en el plano complejo de -2 - 2 i a 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Definiciones

Gráfica de Ai( x ) en rojo y Bi( x ) en azul

Para valores reales de x , la función de Airy de primer tipo puede definirse mediante la integral de Riemann impropia :

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}$$

la prueba de Dirichletnúmero real xM ${\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ ${\displaystyle [M,\infty ).}$ ${\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}$

y = Ai( x ) satisface la ecuación de Airy

$${\displaystyle y''-xy=0.}$$

linealmente independientesAi( x )y → 0x → ∞xAi( x )x → −∞π /2

Gráfico de la función de Airy Bi( z ) en el plano complejo de -2 - 2 i a 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}$$

Gráfica de la derivada de la función de Airy Bi'( z ) en el plano complejo de -2 - 2 i a 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Propiedades

Los valores de Ai( x ) y Bi( x ) y sus derivadas en x = 0 están dados por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}}$$

Γfunción GammaWronskianoAi( x )Bi( x )1/ π

Cuando x es positivo, Ai( x ) es positivo, convexo y disminuye exponencialmente hasta cero, mientras que Bi( x ) es positivo, convexo y aumenta exponencialmente. Cuando x es negativo, Ai( x ) y Bi( x ) oscilan alrededor de cero con una frecuencia cada vez mayor y una amplitud cada vez menor. Esto está respaldado por las fórmulas asintóticas siguientes para las funciones de Airy.

Las funciones de Airy son ortogonales ^[1] en el sentido de que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)}$$

Ceros reales de Ai( x ) y su derivada Ai'( x )

Ni Ai( x ) ni su derivada Ai( x ) tienen ceros reales positivos. Los "primeros" ceros reales (es decir, los más cercanos a x=0) son: ^[2]

• Los "primeros" ceros de Ai( x ) están en x ≈ −2.33811, −4.08795, −5.52056, −6.78671, ...
• Los "primeros" ceros de su derivada Ai'( x ) están en x ≈ −1.01879, −3.24820, −4.82010, −6.16331, ...

Fórmulas asintóticas

Ai (azul) y forma asintótica sinusoidal/exponencial de Ai (magenta)

Bi (azul) y forma asintótica sinusoidal/exponencial de Bi (magenta)

Como se explica a continuación, las funciones de Airy se pueden extender al plano complejo, dando funciones completas . El comportamiento asintótico de Airy funciona como | z | va al infinito con un valor constante de arg ( z ) depende de arg( z ) : esto se llama fenómeno de Stokes . Para | arg( z ) | < π tenemos la siguiente fórmula asintótica para Ai( z ) : ^[3]

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}$$

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].}$$

^[4] ${\displaystyle \zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.}$

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)}$$

Bi( z )| arg( z ) | < π /3

$${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}$$

Ai( z )Bi( z )π /3 < | arg( z ) | < πAi(− z )Bi(− z )| arg( z ) | < 2 π /3^{[3] [5]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}}$$

Cuando | arg( z ) | = 0 estas son buenas aproximaciones pero no son asintóticas porque la relación entre Ai(− z ) o Bi(− z ) y la aproximación anterior llega al infinito siempre que el seno o el coseno llega a cero. También están disponibles expansiones asintóticas para estos límites. Estos se enumeran en (Abramowitz y Stegun, 1983) y (Olver, 1974).

También se pueden obtener expresiones asintóticas para las derivadas Ai'(z) y Bi'(z) . Al igual que antes, cuando | arg( z ) | < π : ^[5]

$${\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}$$

Cuando | arg( z ) | < π /3 tenemos: ^[5]

$${\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].}$$

De manera similar, una expresión para Ai'(− z ) y Bi'(− z ) cuando | arg( z ) | < 2 π /3 pero no cero, son ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}}$$

Argumentos complejos

Podemos extender la definición de la función de Airy al plano complejo mediante

$${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,}$$

C− π /3y “ − xy = 0Ai( x )Bi( x )funciones completas

La fórmula asintótica para Ai( x ) sigue siendo válida en el plano complejo si se toma el valor principal de x ^2/3 y x se acota lejos del eje real negativo. La fórmula para Bi( x ) es válida siempre que x esté en el sector para algún δ positivo. Finalmente, las fórmulas para Ai(− x ) y Bi(− x ) son válidas si x está en el sector ${\displaystyle x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .}$

Del comportamiento asintótico de las funciones de Airy se deduce que tanto Ai( x ) como Bi( x ) tienen una infinidad de ceros en el eje real negativo. La función Ai( x ) no tiene otros ceros en el plano complejo, mientras que la función Bi( x ) también tiene infinitos ceros en el sector ${\displaystyle z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.}$

Parcelas

Relación con otras funciones especiales

Para argumentos positivos, las funciones de Airy están relacionadas con las funciones de Bessel modificadas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}$$

I _±1/3K _1/3

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$$

La primera derivada de la función de Airy es

$${\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).}$$

Las funciones K _1/3 y K _2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes ^[6] (ver también funciones de Bessel modificadas )

Para argumentos negativos, la función de Airy está relacionada con las funciones de Bessel :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}}$$

J _±1/3

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.}$$

Las funciones del Anotador Hi( x ) y -Gi( x ) resuelven la ecuación y “ − xy = 1/π . También se pueden expresar en términos de funciones de Airy:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}}$$

Transformada de Fourier

Usando la definición de la función de Airy Ai( x ), es sencillo demostrar que su transformada de Fourier viene dada por

$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}$$

que yBi ${\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}$ ${\displaystyle i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0}$ ${\displaystyle {\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.}$

Aplicaciones

Mecánica cuántica

La función de Airy es la solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula confinada dentro de un pozo de potencial triangular y para una partícula en un campo de fuerza constante unidimensional. Por la misma razón, también sirve para proporcionar aproximaciones semiclásicas uniformes cerca de un punto de inflexión en la aproximación WKB , cuando el potencial puede aproximarse localmente mediante una función lineal de posición. La solución del pozo de potencial triangular es directamente relevante para la comprensión de los electrones atrapados en heterouniones de semiconductores .

Óptica

Un haz óptico transversalmente asimétrico, donde el perfil del campo eléctrico viene dado por la función de Airy, tiene la interesante propiedad de que su intensidad máxima acelera hacia un lado en lugar de propagarse en línea recta como es el caso de los haces simétricos. Esto se produce a expensas de que la cola de baja intensidad se extienda en la dirección opuesta, por lo que, por supuesto, se conserva el momento general del haz.

Cáusticos

La función Airy subyace a la forma de la intensidad cerca de una cáustica óptica direccional , como la del arco iris (llamado arco iris supernumerario). Históricamente, este fue el problema matemático que llevó a Airy a desarrollar esta función especial. En 1841, William Hallowes Miller midió experimentalmente el arco iris análogo al supernumerario haciendo brillar luz a través de un delgado cilindro de agua y luego observando a través de un telescopio. Observó hasta 30 bandas. ^[7]

Probabilidad

A mediados de la década de 1980, se descubrió que la función de Airy estaba íntimamente relacionada con la distribución de Chernoff . ^[8]

La función de Airy también aparece en la definición de distribución de Tracy-Widom que describe la ley de los valores propios más grandes en una matriz aleatoria . Debido a la íntima conexión de la teoría de matrices aleatorias con la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang , existen procesos centrales construidos en KPZ como el proceso de Airy. ^[9]

Historia

La función de Airy lleva el nombre del astrónomo y físico británico George Biddell Airy (1801-1892), quien la encontró en sus primeros estudios de la óptica en física (Airy 1838). La notación Ai( x ) fue introducida por Harold Jeffreys . Airy se había convertido en Astrónomo Real Británico en 1835, cargo que ocupó hasta su jubilación en 1881.

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Función zeta aireada

Notas

1. David E. Aspnes, Revisión física, 147 , 554 (1966)
2. "Airy y funciones relacionadas". dlmf.nist.gov . Consultado el 9 de octubre de 2022 .
3. Abramowitz y Stegun (1983, p. 448), Ecuaciones 10.4.59, 10.4.61
4. "DLMF: §9.7 Expansiones asintóticas ‣ Funciones de Airy ‣ Capítulo 9 Funciones de Airy y relacionadas". dlmf.nist.gov . Consultado el 11 de mayo de 2023 .
5. Abramowitz & Stegun (1983, p.448), Ecuaciones 10.4.60 y 10.4.64
6. M.Kh.Khokonov. Procesos en cascada de pérdida de energía por emisión de fotones duros // JETP, V.99, No.4, págs. 690-707 \ (2004).
7. Molinero, William Hallowes. "Sobre arcoíris espurios". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge 7 (1848): 277.
8. Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temmé, Nico (2015). "Distribución de Chernoff y ecuaciones diferenciales de tipo parabólico y Airy". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 423 (2): 1804–1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID  119173815.
9. Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2014). "Procesos aéreos y problemas variacionales". Temas de sistemas percolativos y desordenados . Actas de Springer en Matemáticas y Estadística. vol. 69, págs. 121-171. arXiv : 1301.0750 . doi :10.1007/978-1-4939-0339-9_5. ISBN 978-1-4939-0338-2. S2CID  118241762.

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 10". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 448.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Airy (1838), "Sobre la intensidad de la luz en las proximidades de una cáustica", Transactions of the Cambridge Philosophical Society , 6 , University Press: 379–402, Bibcode : 1838TCaPS...6..379A
• Frank William John Olver (1974). Asintótica y funciones especiales, Capítulo 11. Academic Press, Nueva York.
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.6.3. Funciones de Airy", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 9 de agosto de 2011
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Funciones de Airy y aplicaciones a la física, Londres: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR  2114198, archivado desde el original el 13 de enero de 2010 , consultado el 14 de mayo de 2010

enlaces externos

• "Funciones Airy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Funciones aéreas". MundoMatemático .
• Páginas de funciones Wolfram para funciones Ai y Bi. Incluye fórmulas, evaluador de funciones y calculadora de trazado.
• Olver, FWJ (2010), "Airy y funciones relacionadas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.