Método de descomposición de Adomian

El método de descomposición de Adomian (ADM) es un método semianalítico para resolver ecuaciones diferenciales no lineales ordinarias y parciales . El método fue desarrollado entre los años 1970 y 1990 por George Adomian , presidente del Centro de Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Georgia . ^[1] Es extensible a sistemas estocásticos mediante el uso de la integral de Ito . ^[2] El objetivo de este método es lograr una teoría unificada para la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP); un objetivo que ha sido reemplazado por la teoría más general del método de análisis de homotopía . ^[3] El aspecto crucial del método es el empleo de los "polinomios de Adomian" que permiten la convergencia de la solución de la parte no lineal de la ecuación, sin simplemente linealizar el sistema. Estos polinomios se generalizan matemáticamente a una serie de Maclaurin sobre un parámetro externo arbitrario; lo que le da al método de solución más flexibilidad que la expansión directa de la serie de Taylor . ^[4]

Ecuaciones diferenciales ordinarias

El método de Adomian es muy adecuado para resolver problemas de Cauchy , una clase importante de problemas que incluyen problemas de condiciones iniciales .

Aplicación a un sistema no lineal de primer orden

Un ejemplo de problema de condición inicial para una ecuación diferencial ordinaria es el siguiente:

${\displaystyle y^{\prime }(t)+y^{2}(t)=-1,}$

${\displaystyle y(0)=0.}$

Para resolver el problema, el operador diferencial de mayor grado (escrito aquí como L ) se coloca en el lado izquierdo, de la siguiente manera:

${\displaystyle Ly=-1-y^{2},}$

con L = d/d t y . Ahora se supone que la solución es una serie infinita de contribuciones: ${\displaystyle L^{-1}=\int _{0}^{t}()}$

${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots .}$

Reemplazando en la expresión anterior, obtenemos:

${\displaystyle (y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )=y(0)+L^{-1}[-1-(y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots )^{2}].}$

Ahora identificamos y ₀ con alguna expresión explícita a la derecha, y y _i , i = 1, 2, 3, ..., con alguna expresión a la derecha que contiene términos de orden inferior a i . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{0}&=&\ y(0)+L^{-1}(-1)&=&-t\\&y_{1}&=&-L^{-1}(y_{0}^{2})=-L^{-1}(t^{2})&=&-t^{3}/3\\&y_{2}&=&-L^{-1}(2y_{0}y_{1})&=&-2t^{5}/15\\&y_{3}&=&-L^{-1}(y_{1}^{2}+2y_{0}y_{2})&=&-17t^{7}/315.\end{aligned}}}$

De esta manera, cualquier contribución puede calcularse explícitamente en cualquier orden. Si nos quedamos con los cuatro primeros términos, la aproximación es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+y_{1}+y_{2}+y_{3}+\cdots \\&=-\left[t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {2}{15}}t^{5}+{\frac {17}{315}}t^{7}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

Aplicación a la ecuación de Blasius

Un segundo ejemplo, con condiciones de contorno más complejas, es la ecuación de Blasius para un flujo en una capa límite :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}u}{\mathrm {d} x^{3}}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}=0}$

Con las siguientes condiciones en los límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0\\u^{\prime }(0)&=0\\u^{\prime }(x)&\to 1,\qquad x\to \infty \end{aligned}}}$

Los operadores lineales y no lineales ahora se denominan y , respectivamente. Entonces, la expresión se convierte en: ${\displaystyle L={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$ ${\displaystyle N={\frac {1}{2}}u{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

${\displaystyle Lu+Nu=0}$

y la solución puede expresarse, en este caso, de la siguiente manera sencilla:

${\displaystyle u=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-L^{-1}Nu}$

donde: Si: ${\displaystyle L^{-1}\xi (x)=\int dx\int \mathrm {d} x\int \mathrm {d} x\;\;\xi (x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}\\&=\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N}){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(u^{0}+u^{1}+u^{2}+\cdots +u^{N})\end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{0}&={}\alpha +\beta x+\gamma x^{2}/2\\u^{1}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{0}u^{0''})&=&-L^{-1}A_{0}\\u^{2}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{1}u^{0''}+u^{0}u^{1''})&=&-L^{-1}A_{1}\\u^{3}&=-{\frac {1}{2}}L^{-1}(u^{2}u^{0''}+u^{1}u^{1''}+u^{0}u^{2''})&=&-L^{-1}A_{2}\\&\cdots \end{aligned}}}$

Los polinomios de Adomian para linealizar el término no lineal se pueden obtener sistemáticamente utilizando la siguiente regla:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}f(u(\lambda ))\mid _{\lambda =0},}$

dónde: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}u(\lambda )\mid _{\lambda =0}=n!u_{n}}$

Las condiciones de contorno se deben aplicar, en general, al final de cada aproximación. En este caso, las constantes de integración se deben agrupar en tres constantes finales independientes. Sin embargo, en nuestro ejemplo, las tres constantes aparecen agrupadas desde el principio en la forma mostrada en la solución formal anterior. Tras aplicar las dos primeras condiciones de contorno obtenemos la denominada serie de Blasius:

${\displaystyle u={\frac {\gamma }{2}}x^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{5}}{5!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{8}}{8!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{11}}{11!}}\right)+\cdots }$

Para obtener γ tenemos que aplicar condiciones de contorno en ∞, lo que se puede hacer escribiendo la serie como una aproximación de Padé :

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{L+M}c_{n}z^{n}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\cdots +b_{M}z^{M}}}}$

donde L = M . El límite en de esta expresión es a _L / b _M . ${\displaystyle \infty }$

Si elegimos b ₀ = 1, se obtienen M ecuaciones lineales para los coeficientes b :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}c_{L-M+1}&c_{L-M+2}&\cdots &c_{L}\\c_{L-M+2}&c_{L-M+3}&\cdots &c_{L+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\c_{L}&c_{L+1}&\cdots &c_{L+M-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}b_{M}\\b_{M-1}\\\vdots \\b_{1}\end{array}}\right]=-\left[{\begin{array}{c}c_{L+1}\\c_{L+2}\\\vdots \\c_{L+M}\end{array}}\right]}$

Luego obtenemos los coeficientes a mediante la siguiente secuencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=c_{0}\\a_{1}&=c_{1}+b_{1}c_{0}\\a_{2}&=c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}\\&\cdots \\a_{L}&=c_{L}+\sum _{i=1}^{\min(L,m)}b_{i}c_{L-i}.\end{aligned}}}$

En nuestro ejemplo:

${\displaystyle u'(x)=\gamma x-{\frac {\gamma ^{2}}{2}}\left({\frac {x^{4}}{4!}}\right)+{\frac {11\gamma ^{3}}{4}}\left({\frac {x^{7}}{7!}}\right)-{\frac {375\gamma ^{4}}{8}}\left({\frac {x^{10}}{10!}}\right)}$

Que cuando γ = 0,0408 se convierte en:

${\displaystyle u'(x)={\frac {0.0204+0.0379\,z-0.0059\,z^{2}-0.00004575\,z^{3}+6.357\cdot 10^{-6}z^{4}-1.291\cdot 10^{-6}z^{5}}{1-0.1429\,z-0.0000232\,z^{2}+0.0008375\,z^{3}-0.0001558\,z^{4}-1.2849\cdot 10^{-6}z^{5}}},}$

con el limite:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }u'(x)=1.004.}$

Lo cual es aproximadamente igual a 1 (de la condición de contorno (3)) con una precisión de 4/1000.

Ecuaciones diferenciales parciales

Aplicación a un sistema rectangular con no linealidad

Uno de los problemas más frecuentes en las ciencias físicas es obtener la solución de una ecuación diferencial parcial (lineal o no lineal) que satisfaga un conjunto de valores funcionales en un contorno rectangular. Un ejemplo es el siguiente problema:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-b{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\rho (x,y)\qquad (1)}$

con las siguientes condiciones de contorno definidas en un rectángulo:

${\displaystyle u(x=0)=f_{1}(y)\quad {\text{and}}\quad u(x=x_{l})=f_{2}(y)\qquad {\text{(1-a)}}}$

${\displaystyle u(y=-y_{l})=g_{1}(x)\quad {\text{and}}\quad u(y=y_{l})=g_{2}(x)\qquad {\text{(1-b)}}}$

Este tipo de ecuación diferencial parcial aparece frecuentemente asociada a otras en ciencia e ingeniería . Por ejemplo, en el problema del flujo de fluido incompresible , las ecuaciones de Navier-Stokes deben resolverse en paralelo con una ecuación de Poisson para la presión.

Descomposición del sistema

Utilicemos la siguiente notación para el problema (1):

${\displaystyle L_{x}u+L_{y}u+Nu=\rho (x,y)\qquad (2)}$

donde L _x , L _y son operadores de doble derivada y N es un operador no lineal.

La solución formal de (2) es:

${\displaystyle u=a(y)+b(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)-L_{x}^{-1}L_{y}u-L_{x}^{-1}Nu\qquad (3)}$

Ampliando ahora u como conjunto de aportaciones a la solución tenemos:

${\displaystyle u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots }$

Sustituyendo en (3) y haciendo una correspondencia biunívoca entre las contribuciones del lado izquierdo y los términos del lado derecho obtenemos el siguiente esquema iterativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}&=a_{0}(y)+b_{0}(y)x+L_{x}^{-1}\rho (x,y)\\u_{1}&=a_{1}(y)+b_{1}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{0}+b\int dxA_{0}\\&\cdots \\u_{n}&=a_{n}(y)+b_{n}(y)x-L_{x}^{-1}L_{y}u_{n-1}+b\int dxA_{n-1}\quad 0<n<\infty \end{aligned}}}$

donde el par { a _n ( y ), b _n ( y )} es la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}(x=0)&=f_{1}(y)\\\varphi ^{n}(x=x_{l})&=f_{2}(y),\end{aligned}}}$

Aquí está la aproximación de orden n a la solución y N u se ha expandido consistentemente en polinomios de Adomian: ${\displaystyle \varphi ^{n}\equiv \sum _{i=0}^{n}u_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Nu&=-b\partial _{x}u^{2}=-b\partial _{x}(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )(u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}(u_{0}u_{0}+2u_{0}u_{1}+u_{1}u_{1}+2u_{0}u_{2}+\cdots )\\&=-b\partial _{x}\sum _{n=1}^{\infty }A(n-1),\end{aligned}}}$

donde y f ( u ) = u ² en el ejemplo (1). ${\displaystyle A_{n}=\sum _{\nu =1}^{n}C(\nu ,n)f^{(\nu )}(u_{0})}$

Aquí C (ν, n ) son productos (o suma de productos) de los componentes ν de u cuyos subíndices suman n , dividido por el factorial del número de subíndices repetidos. Es solo una regla práctica ordenar sistemáticamente la descomposición para asegurarse de que todas las combinaciones que aparecen se utilicen tarde o temprano.

La es igual a la suma de una serie de Taylor generalizada alrededor de u ₀ . ^[1] ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}$

Para el ejemplo (1) los polinomios de Adomian son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=u_{0}^{2}\\A_{1}&=2u_{0}u_{1}\\A_{2}&=u_{1}^{2}+2u_{0}u_{2}\\A_{3}&=2u_{1}u_{2}+2u_{0}u_{3}\\&\cdots \end{aligned}}}$

También son posibles otras opciones posibles para la expresión de A _n .

Soluciones en serie

Cherruault estableció que los términos de la serie obtenidos por el método de Adomian tienden a cero como 1/( mn )! si m es el orden del operador diferencial lineal más alto y que . ^[5] Con este método la solución se puede encontrar integrando sistemáticamente a lo largo de cualquiera de las dos direcciones: en la dirección x usaríamos la expresión (3); en la dirección alternativa y usaríamos la siguiente expresión: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi ^{n}=u}$

${\displaystyle u=c(x)+d(x)y+L_{y}^{-1}\rho (x,y)-L_{y}^{-1}L_{x}u-L_{y}^{-1}Nu}$

donde: c ( x ), d ( x ) se obtiene a partir de las condiciones de contorno en y = - y _l e y = y _l :

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y=-y_{l})&=g_{1}(x)\\u(y=y_{l})&=g_{2}(x)\end{aligned}}}$

Si llamamos a las dos soluciones respectivas solución parcial x y solución parcial y , una de las consecuencias más interesantes del método es que la solución parcial x utiliza sólo las dos condiciones de contorno (1-a) y la solución parcial y utiliza sólo las condiciones (1-b).

Por lo tanto, uno de los dos conjuntos de funciones de borde { f ₁ , f ₂ } o { g ₁ , g ₂ } es redundante, y esto implica que una ecuación diferencial parcial con condiciones de borde en un rectángulo no puede tener condiciones de borde arbitrarias en los bordes, ya que las condiciones en x = x ₁ , x = x ₂ deben ser consistentes con aquellas impuestas en y = y ₁ e y = y ₂ .

Un ejemplo para aclarar este punto es la solución del problema de Poisson con las siguientes condiciones de contorno:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x=0)&=f_{1}(y)=0\\u(x=x_{l})&=f_{2}(y)=0\end{aligned}}}$

Utilizando el método de Adomian y un procesador simbólico (como Mathematica o Maple ) es fácil obtener la aproximación de tercer orden a la solución. Esta aproximación tiene un error menor que 5×10 ⁻¹⁶ en cualquier punto, como se puede demostrar por sustitución en el problema inicial y mostrando el valor absoluto del residuo obtenido en función de ( x , y ). ^[6]

La solución en y = -0,25 e y = 0,25 viene dada por funciones específicas que en este caso son:

${\displaystyle g_{1}(x)=0.0520833\,x-0.347222\,x^{3}+9.25186\times 10^{-17}x^{4}+0.833333\,x^{5}-0.555556\,x^{6}}$

y g ₂ ( x ) = g ₁ ( x ) respectivamente.

Si ahora se realiza una integración (doble) en la dirección y utilizando estas dos funciones de contorno, se obtendrá la misma solución, que satisface u ( x = 0, y ) = 0 y u ( x = 0,5, y ) = 0 y no puede satisfacer ninguna otra condición en estos bordes.

Algunas personas se sorprenden con estos resultados; parece extraño que no todas las condiciones iniciales de contorno deban usarse explícitamente para resolver un sistema diferencial. Sin embargo, es un hecho bien establecido que cualquier ecuación elíptica tiene una y sólo una solución para cualquier condición funcional en los cuatro lados de un rectángulo siempre que no haya discontinuidad en los bordes. La causa de la idea errónea es que los científicos e ingenieros normalmente piensan en una condición de contorno en términos de convergencia débil en un espacio de Hilbert (la distancia a la función de contorno es lo suficientemente pequeña para fines prácticos). En contraste, los problemas de Cauchy imponen una convergencia punto a punto a una función de contorno dada y a todas sus derivadas (¡y esta es una condición bastante fuerte!). Para los primeros, una función satisface una condición de contorno cuando el área (u otra distancia funcional) entre ella y la función verdadera impuesta en el contorno es tan pequeña como se desee; para los segundos, sin embargo, la función debe tender a la función verdadera impuesta en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

El problema de Poisson comentado no tiene solución para ninguna condición funcional de contorno f ₁ , f ₂ , g ₁ , g ₂ ; sin embargo, dadas f ₁ , f ₂ siempre es posible encontrar funciones de contorno g ₁ ^* , g ₂ ^* tan cercanas a g ₁ , g ₂ como se desee (en el sentido de convergencia débil) para las que el problema tenga solución. Esta propiedad permite resolver el problema de Poisson y muchos otros problemas con condiciones de contorno arbitrarias pero nunca para funciones analíticas exactamente especificadas en los contornos. El lector puede convencerse a sí mismo de la alta sensibilidad de las soluciones de EDP a pequeños cambios en las condiciones de contorno resolviendo este problema integrando a lo largo de la dirección x , con funciones de contorno ligeramente diferentes aunque visualmente no se puedan distinguir. Por ejemplo, la solución con las condiciones de contorno:

${\displaystyle f_{1,2}(y)=0.00413682-0.0813801\,y^{2}+0.260416\,y^{4}-0.277778\,y^{6}}$

en x = 0 y x = 0,5, y la solución con las condiciones de contorno:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1,2}(y)=0.00413683&-0.00040048\,y-0.0813802\,y^{2}+0.0101279\,y^{3}+0.260417\,y^{4}\\&-0.0694455\,y^{5}-0.277778\,y^{6}+0.15873\,y^{7}+\cdots \end{aligned}}}$

en x = 0 y x = 0,5, producen funciones laterales con diferente convexidad de signo aunque ambas funciones no sean distinguibles visualmente.

Las soluciones de problemas elípticos y otras ecuaciones diferenciales parciales son muy sensibles a pequeños cambios en la función de contorno impuesta cuando se utilizan sólo dos lados. Y esta sensibilidad no es fácilmente compatible con modelos que se supone que representan sistemas reales, que se describen mediante mediciones que contienen errores experimentales y que normalmente se expresan como problemas de valores iniciales en el contorno en un espacio de Hilbert.

Mejoras en el método de descomposición

Se han reportado al menos tres métodos ^{[6] [7] [8]} para obtener las funciones de contorno g ₁ ^* , g ₂ ^* que son compatibles con cualquier conjunto lateral de condiciones { f ₁ , f ₂ } impuestas. Esto hace posible encontrar la solución analítica de cualquier problema de contorno de EDP en un rectángulo cerrado con la precisión requerida, permitiendo así resolver una amplia gama de problemas que el método estándar de Adomian no podía abordar.

La primera perturba las dos funciones de contorno impuestas en x = 0 y x = x ₁ (condición 1-a) con un polinomio de orden N en y : p ₁ , p ₂ de tal manera que: f ₁ ' = f ₁ + p ₁ , f ₂ ' = f ₂ + p ₂ , donde la norma de las dos funciones de perturbación es menor que la precisión necesaria en los contornos. Estos p ₁ , p ₂ dependen de un conjunto de coeficientes polinomiales c _i , i = 1, ..., N . Luego, se aplica el método de Adomian y se obtienen funciones en los cuatro contornos que dependen del conjunto de c _i , i = 1, ..., N . Finalmente, se define una función de contorno F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) como la suma de estas cuatro funciones, y se minimiza la distancia entre F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) y las funciones de contorno reales ((1-a) y (1-b)). El problema se ha reducido, de esta manera, a la minimización global de la función F ( c ₁ , c ₂ , ..., c _N ) que tiene un mínimo global para alguna combinación de los parámetros c _i , i = 1, ..., N . Este mínimo puede encontrarse mediante un algoritmo genético o utilizando algún otro método de optimización, como el propuesto por Cherruault (1999). ^[9]

Un segundo método para obtener aproximaciones analíticas de problemas de límite inicial es combinar la descomposición de Adomian con métodos espectrales. ^[7]

Finalmente, el tercer método propuesto por García-Olivares se basa en imponer soluciones analíticas en los cuatro límites, pero modificando el operador diferencial original de tal forma que sea diferente del original sólo en una región estrecha cercana a los límites, y fuerza a la solución a satisfacer exactamente las condiciones analíticas en los cuatro límites. ^[8]

Ecuaciones integrales

El método de descomposición de Adomian también se puede aplicar a ecuaciones integrales lineales y no lineales para obtener soluciones. ^[10] Esto corresponde al hecho de que muchas ecuaciones diferenciales se pueden convertir en ecuaciones integrales. ^[10]

Método de descomposición de Adomian

El método de descomposición de Adomian para la ecuación integral de Fredholm no homogénea de segundo tipo es el siguiente: ^[10]

Dada una ecuación integral de la forma:

${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u(t)dt}$

Suponemos que podemos expresar la solución en forma de serie:

${\displaystyle u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)}$

Al introducir la forma de serie en la ecuación integral se obtiene:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)(\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(t))dt}$

Suponiendo que la suma converge absolutamente a , podemos convertir la suma y la integral en enteros de la siguiente manera: ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}\sum _{n=0}^{\infty }K(x,t)u_{n}(t)dt}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(x)=f(x)+\lambda \sum _{n=0}^{\infty }\int _{a}^{b}K(x,t)u_{n}(t)dt}$

Desarrollando la suma en ambos lados obtenemos:

${\displaystyle u_{0}(x)+u_{1}(x)+u_{2}(x)+...=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{0}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{1}(t)dt+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{2}(t)dt+...}$

Por lo tanto, podemos asociar cada uno de ellos de la siguiente manera recurrente: ${\displaystyle u_{i}(x)}$

${\displaystyle u_{0}(x)=f(x)}$

${\displaystyle u_{i}(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)u_{i-1}dt,\,\,\,\,\,\,\,\,i\geq 1}$

lo que nos da la solución en la forma de solución anterior. ${\displaystyle u(x)}$

Ejemplo

Dada la ecuación integral de Fredholm:

${\displaystyle u(x)=\cos(x)+2x+\int _{0}^{\pi }xt\cdot u(t)dt}$

Desde entonces podemos establecer: ${\displaystyle f(x)=\cos(x)+2x}$

${\displaystyle u_{0}(x)=\cos(x)+2x}$

${\displaystyle u_{1}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{0}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (cosx+2x)dt=(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x}$

${\displaystyle u_{2}(x)=\int _{0}^{\pi }xt\cdot u_{1}dt=\int _{0}^{\pi }xt\cdot (-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})t\,dt=({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x}$

...

Por lo tanto la solución puede escribirse como: ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle u(x)=\cos(x)+2x+(-2+{\frac {2\pi ^{3}}{3}})x+({\frac {-2\pi ^{3}}{3}}+{\frac {2\pi ^{6}}{9}})x+...}$

Como se trata de una serie telescópica, podemos ver que todos los términos posteriores se cancelan y pueden considerarse como "ruido", ^[10] Por lo tanto, se convierte en: ${\displaystyle cos(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle u(x)=\cos(x)}$

Galería

Véase también

• Orden de aproximación

Referencias

1. Adomian, G. (1994). Solución de problemas fronterizos de la física: el método de descomposición . Kluwer Academic Publishers.
2. Adomian, G. (1986). Ecuaciones de operadores estocásticos no lineales . Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-12-044375-8.
3. Liao, SJ (2012), Método de análisis de homotopía en ecuaciones diferenciales no lineales , Berlín y Pekín: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3642251313
4. Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Ecuaciones diferenciales parciales y teoría de ondas solitarias . Higher Education Press. pág. 15. ISBN 978-90-5809-369-1.
5. Cherruault, Y. (1989), "Convergencia del método de Adomian", Kybernetes , 18 (2): 31–38, doi :10.1108/eb005812
6. García-Olivares, A. (2003), "Solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales con descomposición de Adomian", Kybernetes , 32 (3): 354–368, doi :10.1108/03684920310458584[1]
7. García-Olivares, A. (2002), "Aproximaciones analíticas de ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo con métodos tau", Mathematics and Computers in Simulation , 61 : 35–45, doi :10.1016/s0378-4754(02)00133-7, hdl : 10261/51182[2]
8. García-Olivares, A. (2003), "Solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de la física", Kybernetes , 32 (4): 548–560, doi :10.1108/03684920310463939, hdl : 10261/51176[DOI: 10.1108/03684920310463939] [3]
9. Cherruault, Y. (1999). Optimización, Métodos locales y globales . Prensas Universitarias de Francia. ISBN 978-2-13-049910-7.
10. Wazwaz, Abdul-majid (2015). Primer curso de ecuaciones integrales, A. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4675-16-1.OCLC 1020691303  .