Modelo acíclico

Generaliza mostrando que dos teorías de homología son isomorfas

En topología algebraica , una disciplina dentro de las matemáticas , el teorema de los modelos acíclicos se puede utilizar para demostrar que dos teorías de homología son isomorfas . El teorema fue desarrollado por los topólogos Samuel Eilenberg y Saunders MacLane . ^[1] Descubrieron que, cuando los topólogos escribían pruebas para establecer la equivalencia de varias teorías de homología, había numerosas similitudes en los procesos. Eilenberg y MacLane descubrieron entonces el teorema para generalizar este proceso.

Se puede utilizar para demostrar el teorema de Eilenberg-Zilber ; esto conduce a la idea de la categoría modelo .

Enunciado del teorema

Sea una categoría arbitraria y sea la categoría de complejos de cadena de módulos - sobre algún anillo . Sean funtores covariantes tales que: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F,V:{\mathcal {K}}\to {\mathcal {C}}(R)}$

• ${\displaystyle F_{i}=V_{i}=0}$para . ${\displaystyle i<0}$
• Hay para tal que tiene una base en , por lo que es un funtor libre . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}\subseteq {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle V}$es - y -acíclico en estos modelos, lo que significa que para todos y todas . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle H_{k}(V(M))=0}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{k}\cup {\mathcal {M}}_{k+1}}$

Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[2] [3]}

• Toda transformación natural induce un mapa de cadena natural . ${\displaystyle \varphi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)}$ ${\displaystyle f:F\to V}$
• Si son transformaciones naturales, son mapas de cadena naturales como antes y para todos los modelos , entonces hay una homotopía de cadena natural entre y . ${\displaystyle \varphi ,\psi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)}$ ${\displaystyle f,g:F\to V}$ ${\displaystyle \varphi ^{M}=\psi ^{M}}$ ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• En particular, el mapa de cadena es único hasta la homotopía de cadena natural . ${\displaystyle f}$

Generalizaciones

Complejos proyectivos y acíclicos

Lo anterior es una de las primeras versiones del teorema. Otra versión es la que dice que si es un complejo de proyectivos en una categoría abeliana y es un complejo acíclico en esa categoría, entonces cualquier función se extiende a una función en cadena , única hasta la homotopía. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K_{0}\to L_{0}}$ ${\displaystyle K\to L}$

Esto se especializa casi hasta el teorema anterior si se utiliza la categoría de funtores como la categoría abeliana. Los funtores libres son objetos proyectivos en esa categoría. Los morfismos en la categoría de funtores son transformaciones naturales, por lo que las aplicaciones de cadena y homotopías construidas son todas naturales. La diferencia es que en la versión anterior, ser acíclico es una suposición más fuerte que ser acíclico solo en ciertos objetos. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle V}$

Por otra parte, la versión anterior casi implica esta versión al permitir una categoría con un solo objeto. Entonces, el funtor libre es básicamente un módulo libre (y, por lo tanto, proyectivo). Ser acíclico en los modelos (solo hay uno) no significa nada más que el complejo es acíclico. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Clases acíclicas

Existe un gran teorema que unifica ambos. ^{[4] [5]} Sea una categoría abeliana (por ejemplo, o ). Una clase de complejos de cadena sobre se llamará una clase acíclica siempre que: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• El complejo 0 está en . ${\displaystyle \Gamma }$
• El complejo pertenece a si y sólo si la suspensión de lo hace. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$
• Si los complejos y son homotópicos y , entonces . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\in \Gamma }$ ${\displaystyle L\in \Gamma }$
• Todo complejo en es acíclico. ${\displaystyle \Gamma }$
• Si es un complejo doble, cuyas filas están en , entonces el complejo total de pertenece a . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Hay tres ejemplos naturales de clases acíclicas, aunque sin duda existen otras. El primero es el de los complejos contráctiles homotópicamente. El segundo es el de los complejos acíclicos. En las categorías de funtores (por ejemplo, la categoría de todos los funtores desde los espacios topológicos hasta los grupos abelianos), hay una clase de complejos que son contráctiles en cada objeto, pero donde las contracciones podrían no estar dadas por transformaciones naturales. Otro ejemplo se encuentra nuevamente en las categorías de funtores, pero esta vez los complejos son acíclicos solo en ciertos objetos.

Sea la clase de funciones de cadena entre complejos cuyo cono de función pertenece a . Aunque no necesariamente tiene un cálculo de fracciones derechas o izquierdas, tiene propiedades más débiles de tener clases de homotopía de fracciones izquierdas y derechas que permiten formar la clase obtenida invirtiendo las flechas en . ^[4] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}C}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Sea un endofunctor aumentado en , lo que significa que se da una transformación natural (el funtor identidad en ). Decimos que el complejo de cadena es - presentable si para cada , el complejo de cadena ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \epsilon :G\to Id}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \cdots K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}\to \cdots \to K_{n}}$

pertenece a . El operador de frontera viene dado por ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \sum (-1)^{i}K_{n}G^{i}\epsilon G^{m-i}:K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}}$.

Decimos que el funtor complejo de cadena es - acíclico si el complejo de cadena aumentado pertenece a . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L\to H_{0}(L)\to 0}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Teorema . Sea una clase acíclica y la clase correspondiente de flechas en la categoría de complejos de cadena. Supóngase que es -presentable y es -acíclico. Entonces cualquier transformación natural se extiende, en la categoría a una transformación natural de funtores de cadena y esta es única en hasta homotopías de cadena. Si suponemos, además, que es -presentable, que es -acíclico, y que es un isomorfismo, entonces es equivalencia de homotopía. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{0}:H_{0}(K)\to H_{0}(L)}$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$ ${\displaystyle f:K\to L}$ ${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplo

He aquí un ejemplo de este último teorema en acción. Sea la categoría de espacios triangulables y sea la categoría de funtores con valores de grupo abeliano en . Sea el funtor complejo de cadena singular y sea el funtor complejo de cadena simplicial . Sea el funtor que asigna a cada espacio el espacio ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\sum _{{\textrm {Hom}}(\Delta _{n},X)}\Delta _{n}}$.

Aquí, es el -simplex y este funtor asigna a la suma de tantas copias de cada -simplex como mapas haya . Entonces sea definido por . Hay un aumento obvio y esto induce uno en . Se puede demostrar que tanto y son -presentables como -acíclicos (la prueba de que es presentable y acíclico no es completamente sencilla y utiliza un desvío a través de la subdivisión simplicial, que también se puede manejar utilizando el teorema anterior). La clase es la clase de equivalencias de homología. Es bastante obvio que y por lo tanto concluimos que la homología singular y simplicial son isomorfas en . ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(C)=CE}$ ${\displaystyle EX\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle H_{0}(K)\simeq H_{0}(L)}$ ${\displaystyle X}$

Hay muchos otros ejemplos tanto en álgebra como en topología, algunos de los cuales se describen en ^{[4] [5].}

Referencias

1. S. Eilenberg y S. Mac Lane (1953), "Modelos acíclicos". Amer. J. Math. 75 , págs. 189-199
2. Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN  0-387-96678-1 ( Ver capítulo 9, tema 9.12 )
3. Dold, Albrecht (1980), Lecciones sobre topología algebraica , Una serie de estudios exhaustivos sobre matemáticas, vol. 200 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN  3-540-10369-4
4. M. Barr, "Modelos acíclicos" (1999).
5. M. Barr, Modelos acíclicos (2002) monografía CRM 17 , American Mathematical Society ISBN 978-0821828779 . 

• Schon, R. "Modelos acíclicos y escisión". Proc. Amer. Math. Soc. 59 (1) (1976) págs. 167-168.