Acción de Wilson

Acción de la teoría de calibres de celosía

En la teoría de campos reticulares , la acción de Wilson es una formulación discreta de la acción de Yang-Mills , que constituye la base de la teoría de calibración reticular . En lugar de utilizar campos de calibración con valores del álgebra de Lie como parámetros fundamentales de la teoría, se utilizan en su lugar campos de enlace con valores de grupo , que corresponden a las líneas de Wilson más pequeñas en la red . En las simulaciones modernas de la teoría de calibración pura, la acción suele modificarse introduciendo operadores de orden superior a través de la mejora de Symanzik, lo que reduce significativamente los errores de discretización. La acción fue introducida por Kenneth Wilson en su artículo seminal de 1974, ^[1] lanzando el estudio de la teoría de campos reticulares.

Enlaces y plaquetas

La teoría de calibración de red se formula en términos de elementos del grupo de calibración compacto en lugar de en términos de los campos de calibración con valores del álgebra de Lie , donde son los generadores del grupo . La línea de Wilson, que describe el transporte paralelo de elementos del grupo de Lie a través del espacio-tiempo a lo largo de una trayectoria , se define en términos del campo de calibración mediante ${\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle W[x,y]={\mathcal {P}}e^{i\int _{C}A_{\mu }dx^{\mu }},}$

donde es el operador de ordenamiento de trayectorias . Discretizando el espacio-tiempo como una red con puntos indexados por un vector , el campo de calibración toma valores solo en estos puntos . Para ordenar en primer lugar en el espaciado de la red las líneas de Wilson más pequeñas posibles, aquellas entre dos puntos adyacentes, se conocen como enlaces ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{\mu }(n)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)=W[n,n+{\hat {\mu }}]+{\mathcal {O}}(a),}$

donde es un vector unitario en la dirección. Dado que para el primer orden se elimina el operador de ordenamiento de trayectorias, el vínculo está relacionado con el campo de calibración discretizado por . Son las variables fundamentales de la teoría de calibración de la teoría de calibración reticular, con la medida de la integral de trayectorias (matemáticas) sobre los vínculos dada por la medida de Haar en cada punto reticular. ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U_{\mu }(n)=e^{iaA_{\mu }(n)}}$

Al trabajar en alguna representación del grupo de calibración, los enlaces tienen valores matriciales y están orientados . Los enlaces de orientación opuesta se definen de modo que el producto del enlace de a con el enlace en la dirección opuesta sea igual a la identidad, lo que en el caso de los grupos de calibración significa que . Bajo una transformación de calibración , el enlace se transforma de la misma manera que la línea de Wilson ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+{\hat {\mu }}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle U_{-\mu }(n)=U_{\mu }(n-{\hat {\mu }})^{\dagger }}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle U_{\mu }(n)\rightarrow \Omega (n)U_{\mu }(n)\Omega (n+{\hat {\mu }})^{\dagger }.}$

El bucle no trivial más pequeño de campos de enlace en la red se conoce como plaqueta , formada a partir de cuatro enlaces alrededor de un cuadrado en el plano [ ^3]. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=U_{\mu }(n)U_{\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{\mu }(n+{\hat {\nu }})^{\dagger }U_{\nu }(n)^{\dagger }.}$

La traza de una plaqueta es una cantidad invariante de calibre, análoga al bucle de Wilson en el continuo . Utilizando la fórmula BCH y la expresión del campo de calibre de red para la variable de enlace, la plaqueta se puede escribir en el orden más bajo en el espaciado de red en términos del tensor de intensidad de campo discretizado

${\displaystyle U_{\mu \nu }(n)=e^{ia^{2}F_{\mu \nu }(n)+{\mathcal {O}}(a^{3})}.}$

Acción de calibre de celosía

Al reescalar el campo de calibre utilizando el acoplamiento de calibre y trabajando en una representación con índice , definido a través de , la acción de Yang-Mills en el continuo se puede reescribir como ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}]=\rho \delta ^{ab}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2g^{2}\rho }}\int d^{4}x\ {\text{tr}}[F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }],}$

donde el tensor de intensidad de campo tiene un valor de álgebra de Lie . Dado que las plaquetas relacionan las variables de enlace con el tensor de intensidad de campo discretizado, esto permite construir una versión reticular de la acción de Yang-Mills utilizándolas. Esta es la acción de Wilson, dada en términos de una suma sobre todas las plaquetas de una orientación en la red ^[4] ${\displaystyle F_{\mu \nu }=F_{\mu \nu }^{a}T^{a}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{g^{2}\rho }}\sum _{n}\sum _{\mu <\nu }{\text{Re}}\ {\text{tr}}[1-U_{\mu \nu }(n)].}$

Se reduce a la acción discretizada de Yang-Mills con artefactos reticulares que aparecen en el orden . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$

Esta acción está lejos de ser única. ^[5] Una acción de calibración de red se puede construir a partir de cualquier bucle de Wilson discretizado. Siempre que los bucles se promedien adecuadamente sobre las orientaciones y las traslaciones en el espacio-tiempo para dar lugar a las simetrías correctas , la acción se reducirá de nuevo al resultado continuo. La ventaja de utilizar plaquetas es su simplicidad y que la acción se presta bien a los programas de mejora utilizados para reducir los artefactos de red.

Mejora de Symanzik

Los errores de la acción de Wilson se pueden reducir mediante la mejora de Symanzik, mediante la cual se agregan operadores de orden superior adicionales a la acción para cancelar estos artefactos de red. Hay muchos operadores de orden superior que se pueden agregar a la acción de Wilson correspondientes a varios bucles de enlaces. Para las teorías de calibre, la acción de Lüscher-Weisz utiliza rectángulos y paralelogramos formados a partir de enlaces alrededor de un cubo ^[6]. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle 2\times 1}$ ${\displaystyle U_{rt}}$ ${\displaystyle U_{pg}}$

${\displaystyle S[U]={\frac {\beta }{N}}\sum _{pl}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{\mu \nu })+{\frac {\beta _{rt}}{N}}\sum _{rt}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{rt})+{\frac {\beta _{pg}}{N}}\sum _{pg}{\text{Re}}\ {\text{tr}}(1-U_{pg}),}$

donde es la constante de acoplamiento inversa y y son los coeficientes que se ajustan para minimizar los artefactos de red. ${\displaystyle \beta =2N/g^{2}}$ ${\displaystyle \beta _{rt}}$ ${\displaystyle \beta _{pg}}$

El valor de los dos prefactores se puede calcular ya sea utilizando la acción para simular resultados conocidos y ajustando los parámetros para minimizar los errores, o bien calculándolos utilizando la teoría de perturbación mejorada de Tadpole . Para el caso de una teoría de calibre, el último método produce ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$

${\displaystyle \beta _{rt}=-{\frac {\beta _{pl}}{20u_{0}^{2}}}(1+0.4805\alpha _{s}),\ \ \ \ \ \ \ \ \beta _{pg}=-{\frac {\beta }{u_{0}^{2}}}0.03325\alpha _{s},}$

¿Dónde está el valor del enlace medio y es la constante de estructura fina de la cromodinámica cuántica? ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle u_{0}={\big (}{\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu }\rangle {\big )}^{1/4},\ \ \ \ \ \ \ \ \alpha _{s}=-{\frac {\ln({\tfrac {1}{3}}{\text{Re}}\ {\text{tr}}\langle U_{\mu \nu })}{3.06839}}.}$

Referencias

1. Wilson, KG (1974). "Confinamiento de quarks". Phys. Rev. D . 10 (8): 2445–2459. Código Bibliográfico :1974PhRvD..10.2445W. doi :10.1103/PhysRevD.10.2445. Archivado desde el original el 13 de enero de 2022.
2. Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "2". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Apuntes de clase en Física 788. Springer. págs. 33–39. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
3. Schwartz, MD (2014). "25". Teoría cuántica de campos y el modelo estándar . Cambridge University Press. págs. 503–505. ISBN 9781107034730.
4. Smit, Jan (2002). "4". Introducción al campo cuántico en una red . Cambridge Lecture Notes in Physics. Cambridge: Cambridge University Press. págs. 90-95. doi :10.1017/CBO9780511583971. ISBN. 9780511583971.
5. Tong, D. (2018), "4", Lecture Notes on Gauge Theory , pp. 204–207, archivado desde el original el 7 de mayo de 2022 , consultado el 5 de junio de 2022
6. Lüscher, M. ; Weisz, P. (1985). "On-shell improved lattice gauge theory". Comunicaciones en Física Matemática . 97 (1): 59–77. Código Bibliográfico :1985CMaPh..97...59L. doi :10.1007/BF01206178. S2CID  189831578. Archivado desde el original el 2022-06-05.
7. Alford, MG; et al. (1995). "QCD en red en computadoras pequeñas". Phys. Lett. B . 361 (1–4): 87–94. arXiv : hep-lat/9507010 . Código Bibliográfico :1995PhLB..361...87A. doi :10.1016/0370-2693(95)01131-9. S2CID  2309344.
8. Gattringer, C.; Hoffmann, R.; Roland, S. (2002). "Establecer la escala para la acción de Luscher-Weisz". Phys. Rev. D . 65 (9): 094503. arXiv : hep-lat/0112024 . Código Bibliográfico :2002PhRvD..65i4503G. doi :10.1103/PhysRevD.65.094503. S2CID  11055902.