En geometría de cinco dimensiones , un 5-símplex rectificado es un 5-politopo uniforme convexo , que es una rectificación del 5-símplex regular .
Hay tres grados únicos de rectificaciones, incluido el cero, el 5-símplex en sí. Los vértices del 5-símplex rectificado se encuentran en los centros de las aristas del 5-símplex . Los vértices del 5-símplex birectificado se encuentran en los centros de las caras triangulares del 5-símplex .
En geometría de cinco dimensiones , un 5-símplex rectificado es un 5-politopo uniforme con 15 vértices , 60 aristas , 80 caras triangulares , 45 celdas (30 tetraédricas y 15 octaédricas ) y 12 4-caras (6 5-celdas y 6 5-celdas rectificadas ). También se le denomina 0 3,1 por su diagrama de Coxeter-Dynkin ramificado, que se muestra como 
.
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como S1
5.
Los vértices del 5-símplex rectificado se pueden posicionar de forma más sencilla en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,0,0,0,1,1) o (0,0,1,1,1,1). Estas construcciones se pueden considerar como facetas del 6-ortoplex rectificado o del 6-cubo birectificado respectivamente.
Esta matriz de configuración representa el 5-símplex rectificado. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4-caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo se encuentran en todo el 5-símplex rectificado. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. [1] [2]
Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [3]
El 5-símplex rectificado, 0 31 , es el segundo en una serie dimensional de politopos uniformes, expresada por Coxeter como la serie 1 3k . La quinta figura es un panal euclidiano, 3 31 , y la final es un panal hiperbólico no compacto, 4 31 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
El 5-símplex birectificado es isotópico , con todas sus 12 facetas como 5-celdas rectificadas . Tiene 20 vértices , 90 aristas , 120 caras triangulares , 60 celdas (30 tetraédricas y 30 octaédricas ).
EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como S2
5.
También se le denomina 0 2,2 por su diagrama de ramificación de Coxeter-Dynkin, que se muestra como
. Se ve en la figura del vértice del 1 22 de 6 dimensiones ,
.
Los elementos de los politopos regulares se pueden expresar en una matriz de configuración . Las filas y columnas hacen referencia a vértices, aristas, caras y celdas, y los elementos diagonales a sus recuentos ( f-vectores ). Los elementos no diagonales representan el número de elementos de fila que inciden en el elemento de columna. [4] [5]
Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. [6]
La proyección A5 tiene una apariencia idéntica al Cubo de Metatrón . [7]
El 5-símplex birectificado es la intersección de dos 5-símplex regulares en configuración dual . Los vértices de una birectificación se encuentran en el centro de las caras del politopo o politopos originales. Esta intersección es análoga al octaedro estrellado 3D , visto como un compuesto de dos tetraedros regulares e intersectados en un octaedro central , mientras que este último es una primera rectificación donde los vértices están en el centro de las aristas originales.
También es la intersección de un 6-cubo con el hiperplano que biseca la diagonal larga del 6-cubo ortogonalmente. En este sentido, es el análogo de 5 dimensiones del hexágono regular, octaedro y 5-celda bitruncada . Esta caracterización produce coordenadas simples para los vértices de un 5-símplex birectificado en el 6-espacio: las 20 permutaciones distintas de (1,1,1,−1,−1,−1).
Los vértices del 5-símplex birectificado también se pueden posicionar en un hiperplano en el 6-espacio como permutaciones de (0,0,0,1,1,1). Esta construcción se puede ver como facetas del 6-ortoplex birectificado .
El 5-símplex birectificado , 0 22 , es el segundo en una serie dimensional de politopos uniformes, expresada por Coxeter como la serie k 22 . El 5-símplex birectificado es la figura de vértice para el tercero, el 1 22 . La cuarta figura es un panal euclidiano, 2 22 , y la final es un panal hiperbólico no compacto, 3 22 . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
Este politopo es la figura del vértice del demicubo 6 y la figura del borde del politopo uniforme 2 31 .
También es uno de los 19 políteros uniformes basados en el grupo de Coxeter [3,3,3,3] , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano de Coxeter A 5. (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyección, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, violeta tienen progresivamente más vértices)