Cuatro impulsos

Energía e impulso relativista 4D.

En la relatividad especial , el impulso de cuatro dimensiones (también llamado impulso-energía o momenergía ^[1] ) es la generalización del impulso tridimensional clásico al espacio-tiempo de cuatro dimensiones . El momento es un vector en tres dimensiones ; De manera similar, el cuatro momento es un cuatro vector en el espacio-tiempo . El cuatro momento contravariante de una partícula con energía relativista E y tres momentos p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v , donde v es la triple velocidad de la partícula y γ el factor de Lorentz , es

$${\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

La cantidad m v de arriba es el momento ordinario no relativista de la partícula y m su masa en reposo . El cuatro momento es útil en cálculos relativistas porque es un vector covariante de Lorentz . Esto significa que es fácil realizar un seguimiento de cómo se transforma bajo las transformaciones de Lorentz .

norma minkowski

Calcular la norma de Minkowski al cuadrado de los cuatro momentos da una cantidad invariante de Lorentz igual (hasta factores de la velocidad de la luz c ) al cuadrado de la masa propia de la partícula :

$${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$$

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

tensor métricola relatividad especialfirma métrica(–1, 1, 1, 1)temporal para partículas masivas.

La norma de Minkowski es invariante de Lorentz, lo que significa que su valor no cambia mediante transformaciones/impulsos de Lorentz en diferentes marcos de referencia. De manera más general, para dos pyq cualesquiera de cuatro momentos , la cantidad p ⋅ q es invariante.

Relación con las cuatro velocidades

Para una partícula masiva, el momento de cuatro viene dado por la masa invariante m de la partícula multiplicada por la velocidad de cuatro de la partícula ,

$${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$$

u

$${\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$$

$${\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

cvelocidad de la luz ${\displaystyle v}$

Derivación

Hay varias formas de llegar a la expresión correcta para el momento de cuatro. Una forma es definir primero las cuatro velocidades u = dx / dτ y simplemente definir p = mu , contentándose con que sea un vector de cuatro con las unidades correctas y el comportamiento correcto. Otro enfoque, más satisfactorio, es comenzar con el principio de mínima acción y utilizar el marco lagrangiano para derivar los cuatro momentos, incluida la expresión de la energía. ^[2] Uno puede de inmediato , utilizando las observaciones que se detallan a continuación, definir cuatro impulsos de la acción S. Dado que, en general, para un sistema cerrado con coordenadas generalizadas q _i y momentos canónicos p _i , ^[3]

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}$$

x ⁰ = ctx ¹ = xx ² = yx ³ = zx ₀ = − x ⁰x ₁ = x ¹x ₂ = x ²x ₃ = x ³

$${\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}$$

Observaciones

Consideremos inicialmente un sistema de un grado de libertad q . Al derivar las ecuaciones de movimiento a partir de la acción utilizando el principio de Hamilton , se encuentra (generalmente) en una etapa intermedia para la variación de la acción,

$${\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}$$

La suposición es entonces que los caminos variados satisfacen δq ( t ₁ ) = δq ( t ₂ ) = 0 , de lo cual se derivan inmediatamente las ecuaciones de Lagrange . Cuando se conocen las ecuaciones de movimiento (o simplemente se supone que se cumplen), se puede dejar de lado el requisito δq ( t ₂ ) = 0 . En este caso se supone que la trayectoria satisface las ecuaciones de movimiento, y la acción es función del límite de integración superior δq ( t ₂ ) , pero t ₂ sigue siendo fijo. La ecuación anterior se convierte en S = S ( q ) , y definiendo δq ( t ₂ ) = δq , y dejando entrar más grados de libertad,

$${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}$$

Observando eso

$${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}$$

uno concluye

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}$$

De manera similar, mantenga fijos los puntos finales, pero permita que t ₂ = t varíe. Esta vez, se permite que el sistema se mueva a través del espacio de configuración a "velocidad arbitraria" o con "más o menos energía", las ecuaciones de campo aún se supone que se mantienen y la variación se puede realizar en la integral, pero en lugar de ello se observa

$${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}$$

por el teorema fundamental del cálculo . Calcule usando la expresión anterior para momentos canónicos,

$${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}$$

Ahora usando

$${\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}$$

donde H es el hamiltoniano , lleva a, dado que E = H en el presente caso,

$${\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}$$

Por cierto, usando H = H ( q , p , t ) con p =∂S​/∂q​en la ecuación anterior se obtienen las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . En este contexto, S se denomina función principal de Hamilton .

---

La acción S está dada por

$${\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

L es el lagrangiano

pasando por alto estos detalles,

La variación de la acción es

$${\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}$$

Para calcular δds , observe primero que δds ² = 2 dsδds y que

$${\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}$$

Entonces

$${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}$$

o

$${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,}$$

y por lo tanto

$${\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau }$$

que es solo

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}$$

---

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}$$

donde el segundo paso emplea las ecuaciones de campo du ^μ / ds = 0 , ( δx ^μ ) _{t 1} = 0 y ( δx ^μ ) _{t 2} ≡ δx ^μ como en las observaciones anteriores. Ahora compara las últimas tres expresiones para encontrar

$${\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}$$

− m ² c ²

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}$

donde m _r es la ahora pasada de moda masa relativista , se sigue. Al comparar directamente las expresiones para el momento y la energía, se tiene

${\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}$

Esto también es válido para partículas sin masa. Al elevar al cuadrado las expresiones de energía y tres momentos y relacionarlas se obtiene la relación energía-momento ,

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}$

Sustituyendo

$${\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}$$

ecuación relativista de Hamilton-Jacobi^[4]

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}$

También es posible derivar los resultados directamente del Lagrangiano. Por definición, ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$$

La energía y los tres momentos son cantidades conservadas por separado para sistemas aislados en el marco lagrangiano. Por tanto, también se conserva el momento de cuatro. Más sobre esto a continuación.

Más enfoques peatonales incluyen el comportamiento esperado en electrodinámica. ^[6] En este enfoque, el punto de partida es la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton en el sistema de reposo de la partícula. Las propiedades de transformación del tensor de campo electromagnético, incluida la invariancia de la carga eléctrica , se utilizan luego para transformar el marco del laboratorio, y la expresión resultante (nuevamente ley de fuerza de Lorentz) se interpreta en el espíritu de la segunda ley de Newton, lo que lleva a la expresión correcta. para el impulso relativista de tres. La desventaja, por supuesto, es que no está inmediatamente claro que el resultado se aplique a todas las partículas, ya sean cargadas o no, y que no produce los cuatro vectores completos.

También es posible evitar el electromagnetismo y utilizar experimentos mentales bien afinados en los que participen físicos bien entrenados que lancen bolas de billar, utilicen el conocimiento de la fórmula de la suma de velocidades y supongan la conservación del impulso. ^{[7] [8]} Esto también proporciona solo la parte de tres vectores.

Conservación del impulso de cuatro

Como se muestra arriba, existen tres leyes de conservación (no independientes, las dos últimas implican la primera y viceversa):

• El cuatro impulso p (ya sea covariante o contravariante) se conserva.
• La energía total E = p ⁰ c se conserva.
• El impulso de 3 espacios se conserva (no debe confundirse con el impulso no relativista clásico ). ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$

Tenga en cuenta que la masa invariante de un sistema de partículas puede ser mayor que la suma de las masas en reposo de las partículas, ya que la energía cinética en el marco del centro de masa del sistema y la energía potencial de las fuerzas entre las partículas contribuyen a la masa invariante. Como ejemplo, dos partículas con cuatro momentos (5 GeV/ c , 4 GeV/ c , 0, 0) y (5 GeV/ c , −4 GeV/ c , 0, 0) tienen cada una una masa (en reposo) de 3  GeV . / c ² por separado, pero su masa total (la masa del sistema) es 10  GeV/ c ² . Si estas partículas chocaran y se pegaran, la masa del objeto compuesto sería de 10  GeV/ c ² .

Una aplicación práctica de la física de partículas de la conservación de la masa invariante implica combinar los cuatro momentos p _A y p _B de dos partículas hijas producidas en la desintegración de una partícula más pesada con los cuatro momentos p _C para encontrar la masa de la partícula más pesada. . La conservación del momento de cuatro da p _C ^μ = p _A ^μ + p _B ^μ , mientras que la masa M de la partícula más pesada viene dada por − P _C ⋅ P _C = M ² c ² . Midiendo las energías y los tres momentos de las partículas hijas, se puede reconstruir la masa invariante del sistema de dos partículas, que debe ser igual a M. Esta técnica se utiliza, por ejemplo, en búsquedas experimentales de bosones Z′ en colisionadores de partículas de alta energía , donde el bosón Z′ aparecería como un bulto en el espectro de masas invariante de pares electrón - positrón o muón -antimuón.

Si la masa de un objeto no cambia, el producto interno de Minkowski de sus cuatro momentos y sus correspondientes cuatro aceleraciones A ^μ es simplemente cero. La aceleración de cuatro es proporcional a la derivada del tiempo propio del momento de cuatro dividido por la masa de la partícula, por lo que

$${\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}$$

Momento canónico en presencia de un potencial electromagnético.

Para una partícula cargada de carga q , que se mueve en un campo electromagnético dado por el cuatro potencial electromagnético :

$${\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$$

φpotencial escalarA = ( A _x , A _y , A _z )potencial vectorialP (no invariante de calibre

$${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}$$

Esto, a su vez, permite incorporar de forma compacta, en la mecánica cuántica relativista, la energía potencial de la partícula cargada en un potencial electrostático y la fuerza de Lorentz sobre la partícula cargada que se mueve en un campo magnético .

Ver también

• Portal de física

• cuatro fuerzas
• cuatro gradiente
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

1. Taylor, Edwin; Wheeler, Juan (1992). Introducción a la física del espacio-tiempo a la relatividad especial . Nueva York: WH Freeman and Company. pag. 191.ISBN​ 978-0-7167-2327-1.
2. Landau y Lifshitz 2000, págs. 25-29
3. Landau y Lifshitz 1975, págs.139
4. Landau y Lifshitz 1975, pág. 30
5. Landau y Lifshitz 1975, págs. 15-16
6. Sard 1970, sección 3.1
7. Sard 1970, sección 3.2
8. Lewis y Tolman 1909 versión Wikisource

• Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison – Wesley Pub. ISBN del condado 978-0201029185.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975) [1939]. Mecánica . Traducido del ruso por JB Sykes y JS Bell . (3ª ed.). Ámsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (2000). La teoría clásica de los campos . 4ta rev. Edición en inglés, reimpresa con correcciones; Traducido del ruso por Morton Hamermesh. Oxford: ButterworthHeinemann. ISBN 9780750627689.
• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853952-0.
• Sard, RD (1970). Mecánica Relativista - Relatividad Especial y Dinámica Clásica de Partículas . Nueva York: WA Benjamín. ISBN 978-0805384918.
• Lewis, GN ; Tolman, RC (1909). "El principio de la relatividad y la mecánica no newtoniana". Fil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725.Versión de Wikisource