K-tupla prima

En teoría de números , una $k$ - tupla prima es una colección finita de valores que representan un patrón repetible de diferencias entre números primos . Para una $k$ - tupla $(a, b, \dots)$ , las posiciones donde la $k$ -tupla coincide con un patrón en los números primos están dadas por el conjunto de números enteros $n$ tales que todos los valores $(n + a, n + b, \dots)$ son primos. Normalmente, el primer valor en la $k -tupla es 0 y el resto son$ números pares positivos distintos . ^[1]

Patrones con nombre

Varias de las k -tuplas más cortas se conocen por otros nombres comunes:

La secuencia OEIS OEIS : A257124 cubre los 7-tuplas ( septillizos primos ) y contiene una descripción general de las secuencias relacionadas, por ejemplo, las tres secuencias correspondientes a los tres 8-tuplas admisibles ( octillizos primos ) y la unión de todos los 8-tuplas. El primer término en estas secuencias corresponde al primer primo en la constelación de primos más pequeña que se muestra a continuación.

Admisibilidad

Para que una $k$ -tupla tenga infinitas posiciones en las que todos sus valores sean primos, no puede existir un primo $p$ tal que la tupla incluya todos los valores posibles diferentes módulo $p$ . Porque, si existiera tal primo $p$ , entonces no importa qué valor de $n$ se elija, uno de los valores formados al sumar $n$ a la tupla sería divisible por $p$ , por lo que solo podría haber un número finito de posiciones de primos (solo aquellas que incluyan al propio $p$ ). Por ejemplo, los números en una $k$ -tupla no pueden tomar los tres valores 0, 1 y 2 módulo 3; de lo contrario, los números resultantes siempre incluirían un múltiplo de 3 y, por lo tanto, no podrían ser todos primos a menos que uno de los números sea 3 en sí mismo. Una $k$ -tupla que satisface esta condición (es decir, no tiene un $p$ para el cual cubre todos los diferentes valores módulo $p$ ) se llama admisible .

Se conjetura que cada $k$ -tupla admisible coincide con un número infinito de posiciones en la secuencia de números primos. Sin embargo, no hay ninguna tupla admisible para la que esto se haya demostrado, excepto la 1-tupla (0). No obstante, Yitang Zhang demostró en 2013 que existe al menos una 2-tupla que coincide con un número infinito de posiciones; trabajos posteriores demostraron que existe una 2-tupla de este tipo con valores que difieren en 246 o menos que coincide con un número infinito de posiciones. ^[2]

Posiciones coincidentes con patrones inadmisibles

Aunque (0, 2, 4) no es admisible, sí produce el único conjunto de números primos, (3, 5, 7) .

Algunas $k$ -tuplas inadmisibles tienen más de una solución que sea primo en su totalidad. Esto no puede suceder con una $k$ -tupla que incluya todos los valores módulo 3, por lo que para tener esta propiedad una $k$ -tupla debe cubrir todos los valores módulo un primo mayor, lo que implica que hay al menos cinco números en la tupla. La tupla inadmisible más corta con más de una solución es la 5-tupla (0, 2, 8, 14, 26) , que tiene dos soluciones: (3, 5, 11, 17, 29) y (5, 7, 13, 19, 31) , donde todos los valores módulo 5 están incluidos en ambos casos.

Constelaciones principales

El diámetro de una $k$ -tupla es la diferencia de sus elementos más grande y más pequeño. Una $k$ -tupla prima admisible con el diámetro más pequeño posible $d$ (entre todas $las k$ -tuplas admisibles) es una constelación prima . Para todo $n \geq k$ esto siempre producirá primos consecutivos. ^[3] (Recuerde que todos $los n$ son números enteros para los cuales los valores $(n + a, n + b, \dots)$ son primos.)

Esto significa que, para $n$ grande :

estilo de visualización p_{n+k-1}-p_{n}\geq d}

donde $p n$ es el $n-$ ésimo número primo.

Las primeras constelaciones principales son:

El diámetro $d$ en función de $k$ es la secuencia A008407 en la OEIS .

A una constelación principal a veces se la denomina $k$ -tuplete principal , pero algunos autores reservan ese término para instancias que no forman parte de $k$ -tupletes más largos.

La primera conjetura de Hardy-Littlewood predice que se puede calcular la frecuencia asintótica de cualquier constelación prima. Si bien la conjetura no está demostrada, se considera que es probable que sea cierta. Si ese es el caso, implica que la segunda conjetura de Hardy-Littlewood , en cambio, es falsa.

Progresiones aritméticas de números primos

$Se dice que una k$ -tupla prima de la forma $(0, n, 2 n, 3 n, \dots, (k - 1) n)$ es una progresión aritmética prima . Para que dicha $k$ -tupla cumpla con la prueba de admisibilidad, $n$ debe ser un múltiplo del primorial de $k$ . ^[5]

Números sesgados

Los números de Skewes para k -tuplas primos son una extensión de la definición del número de Skewes para k -tuplas primos basada en la primera conjetura de Hardy-Littlewood (Tóth (2019)). Sea $k$ -tupla primo , el número de primos $p$ por debajo de $x$ tales que son todos primos, sea y sea su constante de Hardy-Littlewood (véase la primera conjetura de Hardy-Littlewood ). Entonces, el primer primo $p$ que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la $k$ -tupla $P$ , es decir, tal que $P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \puntos \ ,\ p+i_{k})$ $Estilo de visualización: pi _{P}(x)$ $p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \puntos \ ,\ p+i_{k}$ ${\textstyle \operatorname {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ $Estilo de visualización C_{P}}$

\pi _{P}(p)>C_{P}\nombre del operador {li} _{P}(p),

(si tal primo existe) es el número de Skewes para $P.$

La siguiente tabla muestra los números de Skewes conocidos actualmente para k -tuplas primos:

El número de Skewes (si existe) para los primos sexys aún es desconocido . $(p,\;p+6)$

Referencias

^ Chris Caldwell, "El glosario principal: k-tupla" en The Prime Pages .
^ "Bounded gaps between primes" (Huecos acotados entre primos). PolyMath . Consultado el 22 de abril de 2019 .
^ Weisstein, Eric W. "Primera constelación". MundoMatemático .
^ Norman Luhn, "La gran base de datos de 'k-tuplets primos más pequeños'".
^ Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética prima". MundoMatemático .

Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primos y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID 203836016.
Wolf, Marek (2011), "El número de Skewes para primos gemelos: conteo de cambios de signo de π2(x) − C2Li2(x)" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 17 : 87–92, doi : 10.12921/cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID 59578795.