En el análisis complejo (una rama de las matemáticas), un polo es un tipo determinado de singularidad de una función compleja de variable compleja . Es el tipo más simple de singularidad no removible de dicha función (véase singularidad esencial ). Técnicamente, un punto z 0 es un polo de una función f si es un cero de la función 1/ f y 1/ f es holomorfa (es decir, complejamente diferenciable ) en algún entorno de z 0 .
Una función f es meromórfica en un conjunto abierto U si para cada punto z de U existe un entorno de z en el que al menos uno de f y 1/ f es holomorfo.
Si f es meromórfica en U , entonces un cero de f es un polo de 1/ f , y un polo de f es un cero de 1/ f . Esto induce una dualidad entre ceros y polos , que es fundamental para el estudio de las funciones meromórficas. Por ejemplo, si una función es meromórfica en todo el plano complejo más el punto en el infinito , entonces la suma de las multiplicidades de sus polos es igual a la suma de las multiplicidades de sus ceros.
Una función de una variable compleja z es holomorfa en un dominio abierto U si es diferenciable con respecto a z en cada punto de U . De manera equivalente, es holomorfa si es analítica , es decir, si su serie de Taylor existe en cada punto de U , y converge a la función en algún entorno del punto. Una función es meromórfica en U si cada punto de U tiene un entorno tal que al menos uno de f y 1/ f es holomorfa en él.
Un cero de una función meromórfica f es un número complejo z tal que f ( z ) = 0 . Un polo de f es un cero de 1/ f .
Si f es una función que es meromórfica en un entorno de un punto del plano complejo , entonces existe un entero n tal que
es holomorfo y distinto de cero en un entorno de (esto es una consecuencia de la propiedad analítica). Si n > 0 , entonces es un polo de orden (o multiplicidad) n de f . Si n < 0 , entonces es un cero de orden de f . Cero simple y polo simple son términos utilizados para ceros y polos de orden Grado a veces se utiliza como sinónimo de orden.
Esta caracterización de ceros y polos implica que los ceros y polos están aislados , es decir, cada cero o polo tiene un vecindario que no contiene ningún otro cero y polo.
Debido a que el orden de los ceros y los polos se define como un número no negativo n y a la simetría entre ellos, suele ser útil considerar un polo de orden n como un cero de orden – n y un cero de orden n como un polo de orden – n . En este caso, un punto que no es ni un polo ni un cero se considera un polo (o cero) de orden 0.
Una función meromórfica puede tener infinitos ceros y polos. Este es el caso de la función gamma (ver la imagen en el cuadro de información), que es meromórfica en todo el plano complejo, y tiene un polo simple en cada entero no positivo. La función zeta de Riemann también es meromórfica en todo el plano complejo, con un único polo de orden 1 en z = 1 . Sus ceros en el semiplano izquierdo son todos los enteros pares negativos, y la hipótesis de Riemann es la conjetura de que todos los demás ceros están a lo largo de Re( z ) = 1/2 .
En un entorno de un punto, una función meromórfica f distinta de cero es la suma de una serie de Laurent con una parte principal como máximo finita (los términos con valores de índice negativos):
donde n es un entero, y Nuevamente, si n > 0 (la suma comienza con , la parte principal tiene n términos), se tiene un polo de orden n , y si n ≤ 0 (la suma comienza con , no hay parte principal), se tiene un cero de orden .
Una función es meromórfica en el infinito si es meromórfica en algún entorno del infinito (es decir, fuera de algún disco ), y hay un entero n tal que
existe y es un número complejo distinto de cero.
En este caso, el punto en el infinito es un polo de orden n si n > 0 , y un cero de orden si n < 0 .
Por ejemplo, un polinomio de grado n tiene un polo de grado n en el infinito.
El plano complejo extendido por un punto en el infinito se llama esfera de Riemann .
Si f es una función meromórfica en toda la esfera de Riemann, entonces tiene un número finito de ceros y polos, y la suma de los órdenes de sus polos es igual a la suma de los órdenes de sus ceros.
Toda función racional es meromórfica en toda la esfera de Riemann, y, en este caso, la suma de los órdenes de los ceros o de los polos es el máximo de los grados del numerador y del denominador.
Todos los ejemplos anteriores, excepto el tercero, son funciones racionales . Para una discusión general de los ceros y polos de dichas funciones, véase Diagrama de polos y ceros § Sistemas de tiempo continuo .
El concepto de ceros y polos se extiende de forma natural a las funciones sobre una curva compleja , es decir, una variedad analítica compleja de dimensión uno (sobre los números complejos). Los ejemplos más simples de tales curvas son el plano complejo y la superficie de Riemann . Esta extensión se realiza mediante la transferencia de estructuras y propiedades a través de gráficos , que son isomorfismos analíticos .
Más precisamente, sea f una función de una curva compleja M a los números complejos. Esta función es holomorfa (resp. meromórfica) en un entorno de un punto z de M si hay un gráfico tal que es holomorfa (resp. meromórfica) en un entorno de Entonces, z es un polo o un cero de orden n si lo mismo es cierto para
Si la curva es compacta y la función f es meromórfica en toda la curva, entonces el número de ceros y polos es finito y la suma de los órdenes de los polos es igual a la suma de los órdenes de los ceros. Este es uno de los hechos básicos que intervienen en el teorema de Riemann-Roch .
