En matemáticas , el orden de un grupo finito es el número de sus elementos. Si un grupo no es finito, se dice que su orden es infinito . El orden de un elemento de un grupo (también llamado longitud del período o periodo ) es el orden del subgrupo generado por el elemento. Si la operación de grupo se denota como una multiplicación , el orden de un elemento a de un grupo es, por lo tanto, el número entero positivo más pequeño m tal que a m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo y a m denota el producto de m copias de a . Si no existe tal m , el orden de a es infinito.
El orden de un grupo G se denota por ord( G ) o | G | , y el orden de un elemento a se denota por ord( a ) o | a | , en lugar de donde los corchetes denotan el grupo generado.
El teorema de Lagrange establece que para cualquier subgrupo H de un grupo finito G , el orden del subgrupo divide el orden del grupo; es decir, | H | es divisor de | G | . En particular, el orden | a | de cualquier elemento es divisor de | G | .
El grupo simétrico S 3 tiene la siguiente tabla de multiplicación .
Este grupo tiene seis elementos, por lo que ord(S 3 ) = 6 . Por definición, el orden de la identidad, e , es uno, ya que e 1 = e . Cada uno de s , t y w eleva al cuadrado a e , por lo que estos elementos del grupo tienen orden dos: | s | = | t | = | w | = 2 . Finalmente, u y v tienen orden 3, ya que u 3 = vu = e y v 3 = uv = e .
El orden de un grupo G y los órdenes de sus elementos brindan mucha información sobre la estructura del grupo. En términos generales, cuanto más complicada sea la factorización de | G |, más complicada será la estructura de G .
Para | G | = 1, el grupo es trivial . En cualquier grupo, solo el elemento identidad a = e tiene ord( a ) = 1. Si cada elemento no identidad en G es igual a su inverso (de modo que a 2 = e ), entonces ord( a ) = 2; esto implica que G es abeliano ya que . Lo inverso no es cierto; por ejemplo, el grupo cíclico (aditivo) Z 6 de números enteros módulo 6 es abeliano, pero el número 2 tiene orden 3:
La relación entre los dos conceptos de orden es la siguiente: si escribimos
para el subgrupo generado por a , entonces
Para cualquier entero k , tenemos
En general, el orden de cualquier subgrupo de G divide el orden de G . Más precisamente: si H es un subgrupo de G , entonces
Como consecuencia inmediata de lo anterior, vemos que el orden de cada elemento de un grupo divide el orden del grupo. Por ejemplo, en el grupo simétrico mostrado arriba, donde ord(S 3 ) = 6, los posibles órdenes de los elementos son 1, 2, 3 o 6.
La siguiente recíproca parcial es verdadera para grupos finitos : si d divide el orden de un grupo G y d es un número primo , entonces existe un elemento de orden d en G (esto a veces se llama teorema de Cauchy ). La afirmación no es válida para órdenes compuestos , por ejemplo, el cuatrigrupo de Klein no tiene un elemento de orden cuatro. Esto se puede demostrar mediante una prueba inductiva . [1] Las consecuencias del teorema incluyen: el orden de un grupo G es una potencia de un primo p si y solo si ord( a ) es alguna potencia de p para cada a en G . [2]
Si a tiene orden infinito, entonces todas las potencias de a distintas de cero también tienen orden infinito. Si a tiene orden finito, tenemos la siguiente fórmula para el orden de las potencias de a :
para cada entero k . En particular, a y su inverso a −1 tienen el mismo orden.
En cualquier grupo,
No existe una fórmula general que relacione el orden de un producto ab con los órdenes de a y b . De hecho, es posible que tanto a como b tengan orden finito mientras que ab tiene orden infinito, o que tanto a como b tengan orden infinito mientras que ab tiene orden finito. Un ejemplo del primero es a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− x con ab ( x ) = x −1 en el grupo . Un ejemplo del segundo es a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 con ab ( x ) = x . Si ab = ba , al menos podemos decir que ord( ab ) divide a mcm (ord( a ), ord( b )). Como consecuencia, se puede probar que en un grupo abeliano finito, si m denota el máximo de todos los órdenes de los elementos del grupo, entonces el orden de cada elemento divide a m .
Supóngase que G es un grupo finito de orden n y que d es un divisor de n . El número de elementos de orden d en G es un múltiplo de φ( d ) (posiblemente cero), donde φ es la función totiente de Euler , que da el número de enteros positivos no mayores que d y coprimos con él. Por ejemplo, en el caso de S 3 , φ(3) = 2, y tenemos exactamente dos elementos de orden 3. El teorema no proporciona información útil sobre los elementos de orden 2, porque φ(2) = 1, y solo es de utilidad limitada para d compuestos como d = 6, ya que φ(6) = 2, y hay cero elementos de orden 6 en S 3 .
Los homomorfismos de grupo tienden a reducir los órdenes de los elementos: si f : G → H es un homomorfismo, y a es un elemento de G de orden finito, entonces ord( f ( a )) divide a ord( a ). Si f es inyectiva , entonces ord( f ( a )) = ord( a ). Esto se puede usar a menudo para demostrar que no hay homomorfismos ni homomorfismos inyectivos entre dos grupos dados explícitamente. (Por ejemplo, no puede haber un homomorfismo no trivial h : S 3 → Z 5 , porque cada número excepto cero en Z 5 tiene orden 5, que no divide los órdenes 1, 2 y 3 de los elementos en S 3 ). Una consecuencia adicional es que los elementos conjugados tienen el mismo orden.
Un resultado importante sobre los órdenes es la ecuación de clases ; relaciona el orden de un grupo finito G con el orden de su centro Z( G ) y los tamaños de sus clases de conjugación no triviales :
donde d i son los tamaños de las clases de conjugación no triviales; estos son divisores propios de | G | mayores que uno, y también son iguales a los índices de los centralizadores en G de los representantes de las clases de conjugación no triviales. Por ejemplo, el centro de S 3 es simplemente el grupo trivial con el único elemento e , y la ecuación se lee |S 3 | = 1+2+3.
