Progresión aritmética generalizada

Tipo de secuencia numérica

En matemáticas , una progresión aritmética generalizada (o progresión aritmética múltiple ) es una generalización de una progresión aritmética equipada con múltiples diferencias comunes: mientras que una progresión aritmética se genera por una única diferencia común, una progresión aritmética generalizada puede generarse por múltiples diferencias comunes. Por ejemplo, la secuencia no es una progresión aritmética, sino que se genera comenzando con 17 y sumando 3 o 5, lo que permite generarla con múltiples diferencias comunes. Un conjunto semilineal generaliza esta idea a múltiples dimensiones: es un conjunto de vectores de números enteros, en lugar de un conjunto de números enteros. ${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$

Progresión aritmética generalizada finita

Una progresión aritmética generalizada finita , o a veces simplemente progresión aritmética generalizada (GAP) , de dimensión d se define como un conjunto de la forma

${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$

donde . El producto se denomina tamaño de la progresión aritmética generalizada; la cardinalidad del conjunto puede diferir del tamaño si algunos elementos del conjunto tienen múltiples representaciones. Si la cardinalidad es igual al tamaño, la progresión se denomina propia . Las progresiones aritméticas generalizadas pueden considerarse como una proyección de una cuadrícula de dimensión superior en . Esta proyección es inyectiva si y solo si la progresión aritmética generalizada es propia. ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Conjuntos semilineales

Formalmente, una progresión aritmética de es una secuencia infinita de la forma , donde y son vectores fijos en , llamados vector inicial y diferencia común respectivamente. Se dice que un subconjunto de es lineal si tiene la forma ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} '}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$

donde es un entero y son vectores fijos en . Se dice que un subconjunto de es semilineal si es una unión finita de conjuntos lineales. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

Los conjuntos semilineales son exactamente los conjuntos definibles en la aritmética de Presburger . ^[1]

Véase también

• Teorema de Freiman

Referencias

1. Ginsburg, Seymour; Spanier, Edwin Henry (1966). "Semigrupos, fórmulas de Presburger y lenguajes". Revista del Pacífico de Matemáticas . 16 (2): 285–296. doi : 10.2140/pjm.1966.16.285 .

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: problemas inversos y geometría de conjuntos sumatorios . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 165. Springer. ISBN. 0-387-94655-1.Zbl 0859.11003  .